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CÔNICAS - EXERCÍCIOS

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(Quadrix - 2018 - SEDF - Professor Substituto - Matemática)  Considerando que as equações acima descrevem cônicas no plano, julgue o item a seguir.  x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6 x^2  + xy + y^2  = 3 1. A  primeira  equação  descreve  uma  circunferência  de centro no ponto (–3, 1) e raio 4. Solução: Seja (x-x_{0})+(y-y_{0})=r^2 a equação da circunferência, então temos a seguinte equação: (x+3)^2+(y-1)^2=2^2 Desenvolvendo a expressão obtemos: x^2+6x+y^2-2y=-6 Portanto, o gabarito da questão é falso.  2. A cônica descrita pela primeira equação intercepta a reta y = –x + 4 em exatamente um ponto. Solução:  Se substituirmos y=-x+4 na expressão  x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6, obtemos o seguinte: x^2-6x+(-x+4)^2+2(-x+4)+6=0 Desenvolvendo a expressão: 2x^2-16x+30=0 Sabemos que \Delta =16^2-4.2.30=16. Portanto, como \Delta >0 temos que a reta y = –x + 4 int...

INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS - EXEMPLO

CALCULE A INTEGRAL: \int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx Solução: reescreva a função da seguinta maneira: \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}=\frac{x+1}{x(x^2-5x+6)} Usando Báskara, temos que x_{1}=2 e x_{2}=3. Então a expressão acima fica: \frac{x+1}{x(x-3)(x-2)} Para utilizar a técnica de integração por frações parciais precisamos encontrar A_{1}, A_{2} e A_{3}, tal que: \frac{x+1}{x(x-2)(x-3)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)} Multiplicando ambos os lados da expressão por x(x-2)(x-3) obtemos: x+1=A_{1}(x^2-5x+6)+A_{2}(x^2-2x)+A_{3}(x^2-3x) Reescrevendo a expressão de forma a evidenciar as variáveis x^2,x e a constante, tem-se: x+1=x^{2}(A_{1}+A_{2}+A_{3})+x(-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3})+6A_{1}  Daí, comparamos os coeficientes do lado direito com os do lado esquerdo e obtemos o seguinte sistema: \left\{\begin{matrix}A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\\-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3}\\ 6A_{1}=1 \end{matrix}\right. Portanto, temos que: A_{1}=\frac{1}{6} $$A_{2}=\f...