CÔNICAS - EXERCÍCIOS

(Quadrix - 2018 - SEDF - Professor Substituto - Matemática) 
Considerando que as equações acima descrevem cônicas no plano, julgue o item a seguir. 
$$x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6$$
$$x^2  + xy + y^2  = 3$$
1. A  primeira  equação  descreve  uma  circunferência  de centro no ponto $(–3, 1)$ e raio $4.$

Solução:

Seja $(x-x_{0})+(y-y_{0})=r^2$ a equação da circunferência, então temos a seguinte equação:

$$(x+3)^2+(y-1)^2=2^2$$

Desenvolvendo a expressão obtemos:

$$x^2+6x+y^2-2y=-6$$

Portanto, o gabarito da questão é falso. 

2. A cônica descrita pela primeira equação intercepta a reta $y = –x + 4$ em exatamente um ponto.

Solução: 

Se substituirmos $y=-x+4$ na expressão $x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6$, obtemos o seguinte:

$$x^2-6x+(-x+4)^2+2(-x+4)+6=0$$

Desenvolvendo a expressão:

$$2x^2-16x+30=0$$

Sabemos que $\Delta =16^2-4.2.30=16$. Portanto, como $\Delta >0$ temos que a reta $y = –x + 4$ intercepta a cônica em dois pontos.

Para calcular os pontos, basta usar Báskara, onde obtemos que:

$$x_{1}=3$$

$$x_{2}=5$$

Portanto, o gabarito da questão é falso.

3. A cônica descrita pela segunda equação é uma elipse com eixos sobre as retas $y = ±x.$

Solução:

A cônica representada por $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ será uma:

1. Parábola, se $B^2-4AC=0$
2. Elipse, se $B^2-4AC<0$
3. Hipérbole, se $B^2-4AC>0$.

Desta forma, temos que em $x^2  + xy + y^2  = 3$, 

$$B^2-4AC<0$$

Portanto é uma elipse.

 

Resta saber se os eixos estão sob as retas $y=\pm x$

Em qualquer cônica, a rotação de eixos de um ângulo $\alpha$ é dado por:

$$cotg(2\alpha)=\frac{A-C}{B}$$ .

Como $A=1, B=1$ e $C=1$ temos que:

$$cotg(2\alpha)=\frac{1-1}{1}=0$$ .

Então, temos que:

$$cotg(2 \alpha)=0 \Rightarrow \frac{cos(2 \alpha)}{sen(2\alpha)}=0\Leftrightarrow cos(2\alpha)=0$$

$$cos(2\alpha)=0\Leftrightarrow 2\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

Desta forma, temos que para $0<\alpha<2\pi$,

$$\alpha=\frac{\pi}{4}$$

ou

$$\alpha=\frac{3\pi}{4}$$

Assim, sabemos que os ângulos $\frac{\pi}{4}=45º$ e $\frac{3\pi}{4}=135º$ correspondem às retas $y=x$ e $y=-x$, respectivamente.

Portanto, o gabarito da questão é verdadeiro.

A parte teórica a respeito da rotação de eixos foi consultada na obra:

LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Volume 1. 3ª ed. São Paulo: Editora HARBRAS ltda, 1994, páginas 606-607.