INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

CALCULE A INTEGRAL:

$$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx$$

Solução:

reescreva a função da seguinta maneira:

$$ \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}=\frac{x+1}{x(x^2-5x+6)}$$

Usando Báskara, temos que $x_{1}=2$ e $x_{2}=3$. Então a expressão acima fica:

$$\frac{x+1}{x(x-3)(x-2)}$$

Para utilizar a técnica de integração por frações parciais precisamos encontrar $A_{1}, A_{2}$ e $A_{3}$, tal que:

$$\frac{x+1}{x(x-2)(x-3)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)}$$

Multiplicando ambos os lados da expressão por $x(x-2)(x-3)$ obtemos:

$$x+1=A_{1}(x^2-5x+6)+A_{2}(x^2-2x)+A_{3}(x^2-3x)$$

Reescrevendo a expressão de forma a evidenciar as variáveis $x^2,x$ e a constante, tem-se:

$$x+1=x^{2}(A_{1}+A_{2}+A_{3})+x(-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3})+6A_{1}$$

Daí, comparamos os coeficientes do lado direito com os do lado esquerdo e obtemos o seguinte sistema:

$$\left\{\begin{matrix}A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\\-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3}\\
6A_{1}=1 \end{matrix}\right.$$

Portanto, temos que:

$$A_{1}=\frac{1}{6}$$
$$A_{2}=\frac{-3}{2}$$
$$A_{3}=\frac{4}{3}$$

Desta forma, obtemos:

$$\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)}=\frac{1}{6x}+\frac{4}{3(x-3)}-\frac{3}{2(x-2)}$$

Agora estamos prontos para aplicar a técnica das frações parciais:

$$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx=\int \frac{1}{6x}+\frac{4}{3(x-3)}-\frac{3}{2(x-2)}dx$$

Resolvendo separadamente temos:

$$\int \frac{1}{6x}dx=\frac{1}{6}log|x|+C_{1}$$
$$\frac{4}{3(x-3)}dx=\frac{4}{3}log|x-3|+C_{2}$$
$$-\frac{3}{2(x-2)}dx=-\frac{3}{2}log|x-2|+C_{3}$$

Fazendo $C_{1}+C_{2}+C_{3}=C$ temos como resultado:

$$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx=\frac{1}{6}log|x|+\frac{4}{3}log|x-3|-\frac{3}{2}log|x-2|+C$$

MATDRIVER