INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

CALCULE A INTEGRAL:

$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx$

Solução:

reescreva a função da seguinta maneira:

$\frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}=\frac{x+1}{x(x^2-5x+6)}$

Usando Báskara, temos que $x_{1}=2$ e $x_{2}=3$ . Então a expressão acima fica:

$\frac{x+1}{x(x-3)(x-2)}$

Para utilizar a técnica de integração por frações parciais precisamos encontrar $A_{1}, A_{2}$ e $A_{3}$ , tal que:

$\frac{x+1}{x(x-2)(x-3)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)}$

Multiplicando ambos os lados da expressão por $x(x-2)(x-3)$ obtemos:

$x+1=A_{1}(x^2-5x+6)+A_{2}(x^2-2x)+A_{3}(x^2-3x)$

Reescrevendo a expressão de forma a evidenciar as variáveis $x^2,x$ e a constante, tem-se:

$x+1=x^{2}(A_{1}+A_{2}+A_{3})+x(-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3})+6A_{1}$

Daí, comparamos os coeficientes do lado direito com os do lado esquerdo e obtemos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\\-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3}\\ 6A_{1}=1 \end{matrix}\right.$

Portanto, temos que:

$A_{1}=\frac{1}{6}$

$A_{2}=\frac{-3}{2}$

$A_{3}=\frac{4}{3}$

Desta forma, obtemos:

$\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)}=\frac{1}{6x}+\frac{4}{3(x-3)}-\frac{3}{2(x-2)}$

Agora estamos prontos para aplicar a técnica das frações parciais:

$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx=\int \frac{1}{6x}+\frac{4}{3(x-3)}-\frac{3}{2(x-2)}dx$

Resolvendo separadamente temos:

$\int \frac{1}{6x}dx=\frac{1}{6}log|x|+C_{1}$

$\frac{4}{3(x-3)}dx=\frac{4}{3}log|x-3|+C_{2}$

$-\frac{3}{2(x-2)}dx=-\frac{3}{2}log|x-2|+C_{3}$

Fazendo $C_{1}+C_{2}+C_{3}=C$ temos como resultado:

$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx=\frac{1}{6}log|x|+\frac{4}{3}log|x-3|-\frac{3}{2}log|x-2|+C$

MATDRIVER