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1. (Quadrix - 2022 - SEDF) Julgue o seguinte item: $\log_3(2) \cdot \log_4(3) \cdot \dots \cdot \log_{2021}(2020) \cdot \log_{2022}(2021) = \frac{1}{\log_2(2022)}$ Mostrar Resposta CERTO! Usando a mudança de base: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$ Escolhendo uma base $k$ qualquer, e cortando os termos semelhantes, temos: $$\frac{\log_k(2)}{\log_k(3)} \cdot \frac{\log_k(3)}{\log_k(4)} \cdot \dots \cdot \frac{\log_k(2020)}{\log_k(2021)} \cdot \frac{\log_k(2021)}{\log_k(2022)}=\frac{\log_k(2)}{\log_k(2022)}$$ A partir daqui, vemos que é apropriado escolher $k=2$ para a base: $$\frac{\log_2(2)}{\log_2(2022)}=\frac{1}{\log_2(2022)}$$ 2. Dados $\log_{10}(2), \quad \log_{10}(2^x - 1), \quad \log_{10}(2^x + 3)$ para $x>0$, são três números consecutivos de uma progressão aritmética. Encontre o valor de $x$: Mostrar Resposta Lembrando que se $a_1, \; a_2, \; a_3$, é uma progressão aritmética, então $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$, sendo assim, escrevemos: $$\log_{10}(2^x - 1) - \...

(Quadrix - 2022 - SEDF - Professor Substituto - Matemática) Se os lados de um triângulo ABC, inscritos em uma circunferência de raio R, medem a, b e c, então a lei dos senos estabelece o seguinte. $$\frac{a}{\sin \hat A} = \frac{b}{\sin \hat B} = \frac{c}{\sin \hat C} = 2R$$ Considerando essas informações, julgue os itens: Pergunta 1:  $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B}$ Mostrar Resposta CERTO! Utilizando a Lei dos Senos: $$a = 2R \cdot \sin \hat{C}$$ $$b = 2R \cdot \sin \hat{B}$$ Substituindo na expressão: $\frac{a + b}{a - b}$ obtemos: $$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2R \sin \hat{A} + 2R \sin \hat{B}}{2R \sin \hat{A} - 2R \sin \hat{B}}$$ Daí segue que: $$\frac{a + b}{a - b} = \frac{ \sin \hat{A} +  \sin \hat{B}}{ \sin \hat{A} -  \sin \hat{B}}$$ Pergunta 2: $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A - B}{2}\right)}$ Mostrar Resposta CERTO! Utilizando as fórmulas de soma e diferença para ...