TRIGONOMETRIIIIIIIIIIIIIA

(Quadrix - 2022 - SEDF - Professor Substituto - Matemática)

Se os lados de um triângulo ABC, inscritos em uma circunferência de raio R, medem a, b e c, então a lei dos senos estabelece o seguinte.

$$ \frac{a}{\sin \hat A} = \frac{b}{\sin \hat B} = \frac{c}{\sin \hat C} = 2R $$

Considerando essas informações, julgue os itens:

Pergunta 1: $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B}$

CERTO!

Utilizando a Lei dos Senos:

$$ a = 2R \cdot \sin \hat{C} $$

$$ b = 2R \cdot \sin \hat{B} $$

Substituindo na expressão: $\frac{a + b}{a - b}$ obtemos:

\[ \frac{a + b}{a - b} = \frac{2R \sin \hat{A} + 2R \sin \hat{B}}{2R \sin \hat{A} - 2R \sin \hat{B}}\]

Daí segue que:

\[ \frac{a + b}{a - b} = \frac{ \sin \hat{A} +  \sin \hat{B}}{ \sin \hat{A} -  \sin \hat{B}}\]

Pergunta 2: $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A - B}{2}\right)}$

CERTO!

Utilizando as fórmulas de soma e diferença para o seno:

\[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right) \]

\[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right) \]

Utilizando o resultado da questão anterior, tem-se quê:

\[ \frac{a + b}{a - b} = \frac{ \sin \hat{A} +  \sin \hat{B}}{ \sin \hat{A} -  \sin \hat{B}}\]

Substituindo fica:

$$\frac{\sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)}{2\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)} =\tan\left( \frac{A+B}{2} \right) \cdot \frac{1}{\tan\left( \frac{A-B}{2} \right)}$$

logo:

\[ \frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A - B}{2}\right)} \]

Pergunta 3: A àrea $S$ do triângulo $ABC$ é dada por $S = ab \cdot \sin C$

ERRADO!

Tomando a altura relativa do triângulo temos que:

$\sin C = \frac{h}{a}$, portanto $h = a \cdot \sin C $

 Substituindo na fórmula da área, obtemos : $A = \frac{b \cdot h}{2}=\frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} $

Pergunta 4: A área do triângulo ABC em função dos lados e do raio da circunferência inscrita é $S = \frac{abc}{4R}$

ERRADO!

Para a circunferência circunscrita, temos o seguinte cálculo:

A partir do resultado anterior, $A = \frac{b \cdot h}{2}=\frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} $, utilizamos a lei dos senos para escrever:

$$\sin A = \frac{a}{2R}$$

Substituindo na primeira expressão temos:

$$A = \frac{b \cdot c \cdot \left( \frac{a}{2R} \right)}{2}$$

Finalmente, temos:

$$A = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$

Esse é o resultado do enunciado, porém, como a questão pede a circunferência inscrita, o gabarito é ERRADO.

Cuidado! Se não estivermos atentos, o enunciado nos levará a continuar o cálculo da questão anterior referindo-se ao triângulo inscrito na circunferência (ou seja, a circunferência é circunscrita), que é o resultado encontrado. Porém, se prestarmos bem atenção, o enunciado pergunta a área em função do raio da circunferência inscrita, o que torna o gabarito Errado!