LOGARITMOS - EXERCÍCIOS

1. (Quadrix - 2022 - SEDF) Julgue o seguinte item:

$\log_3(2) \cdot \log_4(3) \cdot \dots \cdot \log_{2021}(2020) \cdot \log_{2022}(2021) = \frac{1}{\log_2(2022)}$

CERTO!

Usando a mudança de base: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$

Escolhendo uma base $k$ qualquer, e cortando os termos semelhantes, temos:

$$\frac{\log_k(2)}{\log_k(3)} \cdot \frac{\log_k(3)}{\log_k(4)} \cdot \dots \cdot \frac{\log_k(2020)}{\log_k(2021)} \cdot \frac{\log_k(2021)}{\log_k(2022)}=\frac{\log_k(2)}{\log_k(2022)}$$

A partir daqui, vemos que é apropriado escolher $k=2$ para a base:

$$\frac{\log_2(2)}{\log_2(2022)}=\frac{1}{\log_2(2022)}$$

2. Dados $\log_{10}(2), \quad \log_{10}(2^x - 1), \quad \log_{10}(2^x + 3)$ para $x>0$, são três números consecutivos de uma progressão aritmética. Encontre o valor de $x$:

Lembrando que se $a_1, \; a_2, \; a_3$, é uma progressão aritmética, então $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$, sendo assim, escrevemos:

$$\log_{10}(2^x - 1) - \log_{10}(2) = \log_{10}(2^x + 3) - \log_{10}(2^x - 1)$$

Pela propriedade da diferença do logaritmo:

$$\log_{10}\left(\frac{2^x - 1}{2}\right) = \log_{10}\left(\frac{2^x + 3}{2^x - 1}\right)$$

Logo:

$$\frac{2^x - 1}{2} = \frac{2^x + 3}{2^x - 1}$$

Desenvolvendo:

$$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$$

Fazendo uma mudança de variável chamando $y = 2^x$:

$$(y-1)^2=2(y+3)^2$$

$$y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$$

$$y^2-4y-5=0$$

onde temos: $y' = -1 \quad \text{e} \quad y'' = 5$.

Fazendo a mudança de variável novamente, temos que $y=2^x$. Mas sabemos que $2^x = -1\quad \notin\,\mathbb{R}$. Logo:

$$2^x=5$$

ou seja:

$$x = \log_2(5)$$

3. (IME - 2018) Sejam $a,b,c$ e $d$ números reais positivos diferentes de 1. Temos que $log_a{(d)}$, $log_b{(d)}$, $log_c{(d)}$ são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que $a, b, c$ formam uma progressão aritmética em que $a<b<c$. Sabendo-se que $b=b^{log_a{(b)}}-a$, determine:

a. Os valores de $a,b$ e $c$. 

Para calcular, vamos subdividir a questão em 6 etapas:

I. Reescreva a progressão fazendo a mudança de base de cada termo para a base $d$.

Usando a fórmula da mudança de base, temos que:

$$log_d{(a)}=\frac{log_d{(d)}}{log_d{(a)}}=\frac{1}{log_d{(a)}}$$

Procedendo analogamente para os outros termos, obtemos:

$$(\log_a{d}, \log_b{d}, \log_c{d}) = \left( \frac{1}{\log_d{a}}, \frac{1}{\log_d{b}}, \frac{1}{\log_d{c}} \right)$$

II. Use o fato da sequência ser uma progressão geométrica e a propriedade do logaritmo, $log_x{y}=log_x{z} \implies y=z$, para escrever cada termo da progressão geométrica em função de $a$ e $q$.

Como a sequência é uma P.G., temos:

$$\frac{1}{log_d(b)}=q\cdot \frac{1}{log_d{(a)}}$$

$$log_d(a)=q\cdot log_d(b)$$

$$log_d(a)=log_d{(b^{q})}$$

Usando a propriedade do logaritmo:

$$a=b^{q}$$

ou

$$a^{\frac{1}{q}}=b$$

Da mesma forma, temos:

$$\frac{1}{log_d(c)}=q^{2}\cdot \frac{1}{log_d{(a)}}$$

$$log_d(a)=q^{2}\cdot log_d(c)$$

$$log_d(a)=log_d{(c^{q^2})}$$

Usando a propriedade do logaritmo:

$$a=c^{q^2}$$

ou

$$a^{\frac{1}{q^2}}=c$$

Desta forma, temos que:

$$(a,b,c)=\left(a, a^{\frac{1}{q}}, a^{\frac{1}{q^2}}\right)$$

III. Use a informação do enunciado, $b=b^{log_a{b}}-a$, e o fato de que a sequência $(a,b,c)$ é uma progressão aritmética para reescrever  $(a,b,c)$ em função apenas de $a$.

Substituindo $b$ dentro do logaritmo por $a^{\frac{1}{q}}$ na expressão acima temos:

$$b^{log_a{(b)}}= b^{log_d{(a^{\frac{1}{q}})}}=b^{\frac{1}{q}}\cdot log_a{(a)}=b^{\frac{1}{q}}$$

Portanto, a expressão $b=b^{log_a{b}}-a$ fica:

$$b=b^{\frac{1}{q}}-a$$

Perceba que, como calculado em II. $b^{\frac{1}{q}}=c$, deste modo, temos:

$$b=c-a$$

Usando o fato de a sequência estar em P.A., temos:

$$b-a=c-b$$

Portanto:

$b=2a$$

Substituindo em $b=c-a$, temos:

$$2a=c-a$$

$$c=3a$$

Portanto, obtemos que:

$$(a, b, c)=(a, 2a, 3a)$$

IV. Use o resultado anterior para reescrever a expressão, $b=b^{log_a{b}}-a$,em função de $a$.

Substituindo $b$ por $2a$ em $b=b^{log_a{(b)}}-a$, obtemos:

$$2a=(2a)^{log_a{(2a)}}-a$$

Desenvolvendo, temos:

$$3a=(2a)^{log_a{(2a)}}$$

$$3a=2^{log_a{(2a)}}\cdot a^{log_a{(2a)}}$$

Observe que $a^{log_a{(2a)}}=2a$, desta forma, temos:

$$3a=2^{log_a{(2a)}}\cdot 2a$$

Portanto:

$$\frac{3}{2}=2^{log_a{(2a)}}$$

Ao aplicar o logarítimo na base 2 dos dois lados, resulta em:

$$log_2{\frac{3}{2}}=log_a{(2a)}$$

V.      Use a definição de logaritmo na expressão obtida para isolar a incógnita $a$.

Dicas:

1) $k=z^{log_y{x}} \rightarrow k^{\frac{1}{log_y{x}}}=z$

2) $\frac{1}{log_y{x}}=log_x{y}$

Aplicando a definição do logaritmo em $log_2{\frac{3}{2}}=log_a{(2a)}$, temos:

$$2a=a^{log_2{\frac{3}{2}}}$$

Dividindo ambos os lados por $a$:

$$2=a^{log_2{\frac{3}{2}}}\cdot a^{-1}$$

Isto equivale a:

$$2=a^{log_2{\frac{3}{2}}-1}$$

Observe que: $log_2{\frac{3}{2}}-1=log_2{\frac{3}{2}}-log_2{2}=\log_2\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)=\log_2\left(\frac{3}{4}\right)$

Com isso, obtemos:

$$2=a^{\log_2\left(\frac{3}{4}\right)}$$

Utilizando a dica 1:

$$a = 2^{\frac{1}{\log_2\left(\frac{3}{4}\right)}}$$

Finalmente, utilizando a dica 2:

$$a = 2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}$$

VI. Tendo encontrado o valor de $a$, use o resultado em III. para escrever os valores de $a,b$ e $c$.

Sabendo que $(a, b, c)=(a, 2a, 3a)$, obtemos:

$$(a, b, c)=(2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}, 2\cdot 2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}, 3\cdot 2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}})$$

b. a)   As razões das progressões aritméticas e geométrica, $r$ e $q$, respectivamente.

Como a P.A $(a,b,c)=(a,2a,3a)$, temos que:

$$r=2a-a$$

$$r=a$$

Pelo resultado anterior, temos:

$$r=2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}$$

Para calcular a razão $q$ da progressão geométrica vamos retomar a expressão:

$$a^{\frac{1}{q}}=2a$$

Desenvolvendo, temos:

$$a^{\frac{1}{q}}=2a$$

$$a^{-1}\cdot a^{\frac{1}{q}}=2$$

$$a^{\frac{1}{q}-1}=2$$

Aplicando o logaritmo em ambos os lados:

$$log_2{a^{\frac{1}{q}-1}}=log_2{2}$$

$$\left(\frac{1}{q}-1\right)\cdot log_2{a}=1$$

Substituindo o valor de $a$, obtemos:

$$\left(\frac{1}{q}-1\right)\cdot log_2{2^{log_{\frac{3}{4}}{2}}}=1$$

Desenvolvendo, temos:

$$q=\frac{log_{\frac{3}{4}}{2}}{1+log_{\frac{3}{4}}{2}}$$

Considere que $1=log_{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$, temos:

$$q=\frac{log_{\frac{3}{4}}{2}}{log_{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}+log_{\frac{3}{4}}{2}}$$

Assim obtemos:

$$q = \frac{\log_{3/4}{2}}{\log_{3/4}{\frac{3}{2}}}$$

Finalmente, precisamos ainda observar que essa expressão equivale à mudança de base, desta forma obtemos:

$$q=log_{\frac{3}{2}}{2}$$