LOGARITMOS - EXERCÍCIOS
1. (Quadrix - 2022 - SEDF) Julgue o seguinte item:
$\log_3(2) \cdot \log_4(3) \cdot \dots \cdot \log_{2021}(2020) \cdot \log_{2022}(2021) = \frac{1}{\log_2(2022)}$
CERTO!
Usando a mudança de base: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$
Escolhendo uma base $k$ qualquer, e cortando os termos semelhantes, temos:
$$\frac{\log_k(2)}{\log_k(3)} \cdot \frac{\log_k(3)}{\log_k(4)} \cdot \dots \cdot \frac{\log_k(2020)}{\log_k(2021)} \cdot \frac{\log_k(2021)}{\log_k(2022)}=\frac{\log_k(2)}{\log_k(2022)}$$
A partir daqui, vemos que é apropriado escolher $k=2$ para a base:
$$\frac{\log_2(2)}{\log_2(2022)}=\frac{1}{\log_2(2022)}$$
2. Dados $\log_{10}(2), \quad \log_{10}(2^x - 1), \quad \log_{10}(2^x + 3) $ para $x>0$, são três números consecutivos de uma progressão aritmética. Encontre o valor de $x$:
Lembrando que se $a_1, \; a_2, \; a_3$, é uma progressão aritmética, então $a_2 - a_1 = a_3 - a_2 $, sendo assim, escrevemos:
$$\log_{10}(2^x - 1) - \log_{10}(2) = \log_{10}(2^x + 3) - \log_{10}(2^x - 1) $$
Pela propriedade da diferença do logaritmo:
$$\log_{10}\left(\frac{2^x - 1}{2}\right) = \log_{10}\left(\frac{2^x + 3}{2^x - 1}\right)$$
Logo:
$$\frac{2^x - 1}{2} = \frac{2^x + 3}{2^x - 1}$$
Desenvolvendo:
$$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3) $$
Fazendo uma mudança de variável chamando $y = 2^x$:
$$(y-1)^2=2(y+3)^2$$
$$y^2 - 2y + 1 = 2y + 6 $$
$$y^2-4y-5=0$$
onde temos: $y' = -1 \quad \text{e} \quad y'' = 5 $.
Fazendo a mudança de variável novamente, temos que $y=2^x$. Mas sabemos que $2^x = -1\quad \notin\,\mathbb{R}$. Logo:
$$2^x=5$$
ou seja:
$$x = \log_2(5)$$
3. (IME - 2018) Sejam $a,b,c$ e $d$ números reais positivos diferentes de 1. Temos que $log_a{(d)}$, $log_b{(d)}$, $log_c{(d)}$ são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que $a, b, c$ formam uma progressão aritmética em que $a<b<c$. Sabendo-se que $b=b^{log_a{(b)}}-a$, determine:
a. Os
valores de $a,b$ e $c$. 
Para calcular, vamos subdividir a questão em 6 etapas:
I. Reescreva a progressão fazendo a mudança de base de cada termo para a base $d$.
Usando a fórmula da mudança de base, temos que:
$$log_d{(a)}=\frac{log_d{(d)}}{log_d{(a)}}=\frac{1}{log_d{(a)}}$$
Procedendo analogamente para os outros termos, obtemos:
$$(\log_a{d}, \log_b{d}, \log_c{d}) = \left( \frac{1}{\log_d{a}}, \frac{1}{\log_d{b}}, \frac{1}{\log_d{c}} \right)$$
II. Use o fato da sequência ser uma progressão geométrica e a propriedade do logaritmo, $log_x{y}=log_x{z} \implies y=z$, para escrever cada termo da progressão geométrica em função de $a$ e $q$.
Como a sequência é uma P.G., temos:
$$\frac{1}{log_d(b)}=q\cdot \frac{1}{log_d{(a)}}$$
$$log_d(a)=q\cdot log_d(b)$$
$$log_d(a)=log_d{(b^{q})}$$
Usando a propriedade do logaritmo:
$$a=b^{q}$$
ou
$$a^{\frac{1}{q}}=b$$
Da mesma forma, temos:
$$\frac{1}{log_d(c)}=q^{2}\cdot \frac{1}{log_d{(a)}}$$
$$log_d(a)=q^{2}\cdot log_d(c)$$
$$log_d(a)=log_d{(c^{q^2})}$$
Usando a propriedade do logaritmo:
$$a=c^{q^2}$$
ou
$$a^{\frac{1}{q^2}}=c$$
Desta forma, temos que:
$$(a,b,c)=\left(a, a^{\frac{1}{q}}, a^{\frac{1}{q^2}}\right)$$
III. Use a informação do enunciado, $b=b^{log_a{b}}-a$, e o fato de que a sequência $(a,b,c)$ é uma progressão aritmética para reescrever $(a,b,c)$ em função apenas de $a$.
Substituindo $b$ dentro do logaritmo por $a^{\frac{1}{q}}$ na expressão acima temos:
$$b^{log_a{(b)}}= b^{log_d{(a^{\frac{1}{q}})}}=b^{\frac{1}{q}}\cdot log_a{(a)}=b^{\frac{1}{q}}$$
Portanto, a expressão $b=b^{log_a{b}}-a$ fica:
$$b=b^{\frac{1}{q}}-a$$
Perceba que, como calculado em II. $b^{\frac{1}{q}}=c$, deste modo, temos:
$$b=c-a$$
Usando o fato de a sequência estar em P.A., temos:
$$b-a=c-b$$
Portanto:
$b=2a$$
Substituindo em $b=c-a$, temos:
$$2a=c-a$$
$$c=3a$$
Portanto, obtemos que:
$$(a, b, c)=(a, 2a, 3a)$$
IV. Use o resultado anterior para reescrever a expressão, $b=b^{log_a{b}}-a$,em função de $a$.
Substituindo $b$ por $2a$ em $b=b^{log_a{(b)}}-a$, obtemos:
$$2a=(2a)^{log_a{(2a)}}-a$$
Desenvolvendo, temos:
$$3a=(2a)^{log_a{(2a)}}$$
$$3a=2^{log_a{(2a)}}\cdot a^{log_a{(2a)}}$$
Observe que $a^{log_a{(2a)}}=2a$, desta forma, temos:
$$3a=2^{log_a{(2a)}}\cdot 2a$$
Portanto:
$$\frac{3}{2}=2^{log_a{(2a)}}$$
Ao aplicar o logarítimo na base 2 dos dois lados, resulta em:
$$log_2{\frac{3}{2}}=log_a{(2a)}$$
V. Use a definição de logaritmo na expressão obtida para isolar a incógnita $a$.
Dicas:
1) $k=z^{log_y{x}} \rightarrow k^{\frac{1}{log_y{x}}}=z$
2) $ \frac{1}{log_y{x}}=log_x{y}$
Aplicando a definição do logaritmo em $log_2{\frac{3}{2}}=log_a{(2a)}$, temos:
$$2a=a^{log_2{\frac{3}{2}}}$$
Dividindo ambos os lados por $a$:
$$2=a^{log_2{\frac{3}{2}}}\cdot a^{-1}$$
Isto equivale a:
$$2=a^{log_2{\frac{3}{2}}-1}$$
Observe que: $log_2{\frac{3}{2}}-1=log_2{\frac{3}{2}}-log_2{2}=\log_2\left(\frac{\frac{3}{2}}{2}\right)=\log_2\left(\frac{3}{4}\right)$
Com isso, obtemos:
$$2=a^{\log_2\left(\frac{3}{4}\right)}$$
Utilizando a dica 1:
$$a = 2^{\frac{1}{\log_2\left(\frac{3}{4}\right)}}$$
Finalmente, utilizando a dica 2:
$$a = 2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}$$
VI. Tendo encontrado o valor de $a$, use o resultado em III. para escrever os valores de $a,b$ e $c$.
Sabendo que $(a, b, c)=(a, 2a, 3a)$, obtemos:
$$(a, b, c)=(2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}, 2\cdot 2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}, 3\cdot 2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}})$$
b. a) As razões das progressões aritméticas e geométrica, $r$ e $q$, respectivamente.
Como a P.A $(a,b,c)=(a,2a,3a)$, temos que:
$$r=2a-a$$
$$r=a$$
Pelo resultado anterior, temos:
$$r=2^{\log_{\frac{3}{4}}{2}}$$
Para calcular a razão $q$ da progressão geométrica vamos retomar a expressão:
$$a^{\frac{1}{q}}=2a$$
Desenvolvendo, temos:
$$a^{\frac{1}{q}}=2a$$
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