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Determinante e Polinômio Característico O determinante de uma matriz, dentre muitas funções, serve como instrumento para saber se uma matriz é invertível ou se um sistema linear tem ou não única solução. Mas um caso importante de cálculo do determinante de uma matriz é a aplicação no cálculo do polinômio característico $det(A-xI)=0$, onde $A$ é uma matriz $n\times n$. O polinômio característico é algo muito particular de uma matriz. Nosso objetivo é abordar algo sobre o determinante de uma matriz e o cálculo do seu polinômio característico, bem como aplicação e exemplos. 1. DETERMINANTE   Seja $A=[a_{ij}]$ uma matriz $n\times$, com $n\geqslant 2$. Então o determinante de $A$ é o escalar $det A= |A|=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{i+j}det A_{ij}$ Um teorema, devido a Laplace, nos mostra como é conveniente combinar um determinante menor complementar com o seu sinal. Com essa finalidade, define-se o cofator de $A$ como: $C_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}...

  Propriedade de Matrizes Exponenciais Métodos Computacionais   A função exponencial está bem presente na matemática, bem como sua inversa, o logaritmo natural. Isso torna esta função muito importante para vários campos da matemática e fora dela também. A exponencial também pode ser aplicada a matrizes e o nosso objetivo é apresentar algumas propriedades, e mais duas maneiras de calculá-las numericamente, por séries de Taylor e o método utilizando os autovalores da matriz. 1. SÉRIE DE TAYLOR   A fórmula de Taylor nos permite escrever uma expansão em série de potência da função $exp(x)$, para um número real $x$, além disso, temos o fato de que essa série converge em toda reta real. $$exp(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$$ Esta expansão nos permite definir a função exponencial para matrizes quadradas. Desta forma, podemos definir a exponencial de uma matriz assim: $exp(X)=I+\frac{x^{2}}{2!}X^{2}+...+\frac{x^{n}}{m!}X^{m}+...$ ...

Método de Newton-Raphson Para cálculo de raízes de uma função real O Método de Newton-Raphson, desenvolvido simultaneamente por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta raiz e, em seguida, calcula-se a equação da reta tangente da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontramos a raiz da função.   As obras, Analysis Aequationum Universalis de Joseph Raphson, 1690, e Method of Fluxions de Isaac Newton, 1736, onde foram publicadas, de modo independente, o método que hoje conhecemos por Método de Newton-Raphson.   1. O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON O Método de Newton-Raphson é representado da seguinte forma: $$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$ Onde $n$ indica a n-ésima iteração do algoritmo e $f'(x_{n})$ é a derivada da função $f$ ...