Método de Newton-Raphson

Para cálculo de raízes de uma função real

O Método de Newton-Raphson, desenvolvido simultaneamente por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta raiz e, em seguida, calcula-se a equação da reta tangente da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontramos a raiz da função.

As obras, Analysis Aequationum Universalis de Joseph Raphson, 1690, e Method of Fluxions de Isaac Newton, 1736, onde foram publicadas, de modo independente, o método que hoje conhecemos por Método de Newton-Raphson.

1. O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

O Método de Newton-Raphson é representado da seguinte forma:

$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$

Onde $n$ indica a n-ésima iteração do algoritmo e $f'(x_{n})$ é a derivada da função $f$ em $x_{n}$. Temos então uma sequência que, se convergir, aproxima-se da raiz da função.

2. DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO

Aproveitando a interpretação geométrica do método para essa demonstração, olhamos o gráfico de uma determinada função $f(x)$, como por exemplo a figura abaixo:

A seguir, escolhemos um ponto $x_{0}$, arbitrariamente, próximo à raiz, calculamos $f(x_{n})$, sabendo que a equação da reta tangente à curva em $(x_{0}, f(x_{0}))$ tem inclinação $m=f'(x_{0})$. Neste caso, supomos que $f$ seja diferenciável em $x_{0}$, e que $f'(x_{0})\neq 0$. Assim temos:

$$y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$$

Como essa reta passa pelo ponto $(x_{1}, 0)$, temos que:

$$0-f(x_{0})=f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})$$

$$x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$$

Se repetirmos o procedimento em $n+1$ iterações, teremos os termos da sequência de Newton ${x_{n}}$.

$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$

3. CONVERGÊNCIA

Para que o método funcione, devemos garantir que a sequência de Newton seja convergente. Para analisar as condições de convergência, vamos primeiro olhar quando a função não converge. A não convergência do método pode ocorrer nos pontos de máximos, mínimos e inflexões, quando a função muda a concavidade.

Isso é fácil de verificar, sabemos que a derivada de uma função em um ponto $x$ é a reta tangente à função neste ponto. Se o ponto $x$ é o ponto de mínimo, por exemplo, de uma função quadrática, a reta tangente $T(x)$ neste ponto será paralela ao eixo $x$. Se analisarmos o algoritmo de Newton Raphson, veremos que o quociente entre a função e sua derivada será uma indeterminação, tendendo ao infinito.

Com isso em mãos, podemos intuir que as condições de convergência são as seguintes:

$x_{0}$ deve ser suficiente próximo da raiz;
$f'(x)$ não deve ser muito próxima de zero;
$f''(x)$ é de sinal constante no intervalo próximo à raiz;

EXEMPLO 1

Encontrar a $\sqrt{7}$ pelo Método de Newton-Raphson.

Para encontrarmos a raiz quadrada de $7$ pelo Método de Newton-Raphson, utilizaremos uma função tal que $f(\sqrt{7})=0$. Assim, podemos escolher $x_{0}=2$, para uma aproximação com $7$ casas decimais, truncando após cada iteração.

$$f(x)=x^2-7$$

$$f'(x)=2x$$

$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{x^2-7}{2x}$$

Desta forma, temos os dados na seguinte tabela:

$x_{0}$	$2,000000$
$x_{1}$	$2,750000$
$x_{2}$	$2,647727$
$x_{3}$	$2,645752$

Portanto, temos que $x=2,645752\approx \sqrt{7}$ é a raiz da função $f(x)$, com aproximação de sete casas decimais.

EXEMPLO 2

Calcular a raiz positiva de $e^{x}-2cos(x)=0$.

Para a escolha de $x_{0}$, podemos olhar o gráfico das funções $e^{x}$ e $2cos(x)$:

Pelo gráfico acima, vê-se que a raiz está razoavelmente próxima de $0,5$.

Então, usando $x_{0}=0,5$, para uma aproximação com 6 casas decimais, e usando truncamento após cada iteração, temos os seguintes dados expostos na tabela 2:

$x_{0}$	$0,5$
$x_{1}$	$0,540821$
$x_{2}$	$0,539786$
$x_{3}$	$0,539785$

Desta forma,

$$f'(x)=e^{x}+2sen(x)$$

$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{e^{x_{n}}-2cos(x)}{e^{x_{n}}+2sen(x)}$$

Portanto, temos que $x=0,539785$ é a raiz da função $f(x)$ com aproximação de 6 casas decimais.

4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA RAÍZES REAIS MÚLTIPLAS DE UM POLINÔMIO

Quando há uma função com raízes múltiplas, o método de Newton-Raphson pode se tornar muito lento, pois a convergência quadrática passa a ser linear.. Entretanto, os matemáticos Rawston e Rabinowitz mostraram uma modificação que pode ser introduzida para melhorar a convergência mudando a expressão de recorrência do método pela expressão:

$$x_{n+1}=x_{n}-m\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$

Onde $m$ é o número de multiplicidade da raiz.

EXEMPLO 3

Compare a convergência da sequência de Newton-Raphson com sua versão modificada no seguinte polinômio:

$$x^{5}-20x^{4}+160x^{3}-640x^2+1280x-1024$$

Considere $x_{0}=5$, sabendo que o polinômio tem uma raiz real com multiplicidade $5$.

Considerando as sequências de Newton-Raphson não modificada e a sequência modificada, temos os dados nas tabela 3 e 4:

$x_{0}$	$5$
$x_{1}$	$4,4$
$x_{2}$	$4,3$
$x_{3}$	$4,2$
$x_{4}$	$4,1$
$x_{5}$	$4,0$

Valores de N-R não modificado

$x_{0}$	$5$
$x_{1}$	$4$

Valores de N-R modificado

Observamos neste exemplo que a convergência da sequência de Newton-Raphson não modificada é linear. E a sequência modificada converge muito mais rapidamente para a raiz.

Consideramos a sequência de Newton-Raphson para o polinômio acima:

$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{5}-20x_{n}^{4}+160x_{n}^{3}-640x_{n}^{2}+1280x_{n}-1024}{5x_{n}^{4}-80x_{n}^{3}+480x_{n}^{2}-1280x_{n}+1280}$$

CONCLUSÃO

O método ideal para aproximação de raízes é aquele em que a convergência é assegurada, e rápida, e que haja um número mínimo de iterações. Dentre os métodos, o Método de Newton-Raphson se mostra uma forte ferramenta, sempre que for fácil verificar as condições de convergência de $f(x)$, e que o cálculo de sua derivada não seja muito elaborado.

REFERÊNCIAS

RUGGIERO, Maria A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1997.
SHOKRANIAN, Salahoddin. Tópicos em Métodos Computacionais. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2009.
KILHIAN, Kleber. Zeros Reais de Funções Reais – O Método de Newton Raphson Resolvido no Excel. O Baricentro da Mente. Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/11/zeros-reais-de-funcoes-reais.html.Acessado em: Set. 2016.

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CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Método de Newton-Raphson: para cálculo de raízes de uma função real. Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, mar. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/03/metodode-newton-raphson-para-calculo-de.html. Acessado em________.

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