Determinante e Polinômio Característico

O determinante de uma matriz, dentre muitas funções, serve como instrumento para saber se uma matriz é invertível ou se um sistema linear tem ou não única solução. Mas um caso importante de cálculo do determinante de uma matriz é a aplicação no cálculo do polinômio característico $det(A-xI)=0$, onde $A$ é uma matriz $n\times n$. O polinômio característico é algo muito particular de uma matriz. Nosso objetivo é abordar algo sobre o determinante de uma matriz e o cálculo do seu polinômio característico, bem como aplicação e exemplos.

1. DETERMINANTE

 

Seja $A=[a_{ij}]$ uma matriz $n\times$, com $n\geqslant 2$. Então o determinante de $A$ é o escalar

$det A= |A|=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{i+j}det A_{ij}$

Um teorema, devido a Laplace, nos mostra como é conveniente combinar um determinante menor complementar com o seu sinal. Com essa finalidade, define-se o cofator de $A$ como:

$C_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}$

E com essa notação podemos reescrever a definição de determinante como:

$det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}$

Um caso interessante do calculo de cofatores é que se a matriz tiver em suas entradas uma função, o cálculo dos seus cofatores $\Delta$ pode ser entendido pelas derivadas parciais a respeito das variáveis.

$\Delta=(\frac{\partial X}{\partial x_{ij}})$, onde $i,j=1, 2, ..., n$

EXEMPLO 1.1 Seja $X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}$, temos que $det X=x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}$. Temos que a matriz das derivadas parciais é:

$$ \Delta =\begin{pmatrix} \frac{\partial X}{\partial x_{11}} & \frac{\partial X}{\partial x_{11}}\\ \frac{\partial X}{\partial x_{11}} & \frac{\partial X}{\partial x_{11}} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_{22} & -x_{21} \\ -x_{12}&x_{22} \end{pmatrix}$$

Lembrando ainda uma propriedade do determinante no cálculo da matriz inversa, via cofatores, que é dada por $X^{-1}= \frac{1}{det X} _{}^{T}\textrm{C}_{ij}$ , onde $_{}^{T}\textrm{C}_{ij}$ é a matriz adjunta de $A$.

Analogamente, como $\Delta$ é o cofator da matriz $X$, temos que:

$$X^{-1}=\frac{1}{det X}_{}^{T}\textrm{}(\frac{\partial}{\partial X} det X)$$

Onde _{}^{T}\textrm{}(\frac{\partial}{\partial X} det X) é a transposta da matriz das derivadas parciais da função determinante (análogo a matriz adjunta).

 

2. DERIVADA DO DETERMINANTE

Para o cálculo da derivada do determinante, podemos usar a definição do determinante considerando que suas entradas são funções. Desta forma, basta usar a regra da soma e do produto para derivadas:

$$det(X)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}f_{i+j}(x) det(X_{ij})$$

$$det(X)'=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(f'_{i+j}(x)det(X_{i+j})+f_{ij}(x)det(X_{ij})')$$

Em outras palavras a derivada do determinante é igual a soma dos determinantes das matrizes que, em cada uma delas, é calculada a derivada de uma coluna, sem alterar as demais.

EXEMPLO 1.2 Considere a seguinte matriz: $\begin{bmatrix}cos x & -sen x \\ sen x & cos x \end{bmatrix}$. A derivada do determinante fica assim:

$$det(X)=det \begin{bmatrix}\frac{d}{dx}cos x & -sen x \\ \frac{d}{dx} sen x & cos x \end{bmatrix}+ det\begin{bmatrix}cos x & -\frac{d}{dx}sen x \\ sen x & \frac{d}{dx}cos x \end{bmatrix}=$$

$$=2sen x cos x+2sen x cos x=0$$

3. POLINÔMIO CARACTERÍSTICO

Aproveitando o estudo sobre o determinante apresentado anteriormente, é uma boa ideia aplicar ao cálculo do polinômio característico e verificar suas implicações. Sem perda de generalidade, vamos considerar uma matriz $A_{2\times2}$, tal que $A=\begin{bmatrix}a &b \\ c & d \end{bmatrix}$. Sabemos que seu polinômio característico é dado por:

$$P(x)=det(xI-A)=det\begin{bmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \end{bmatrix}$$

Assim, pelo que vimos sobre a derivada do polinômio característico, temos:

$$det (xI-A)'=det\begin{bmatrix} 1 & -b \\ 0 & x-d \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x-a & 0 \\ -c & 1 \end{bmatrix}=$$

$$=x-d-x-a$$

A expressão acima é a soma da diagonal principal da matriz $xI-A$. Isso é exatamente o traço da matriz. Portanto temos que:

$$P'(x)=tr(xI-A)$$

Logo, para calcular o polinômio característico, basta integrar a função $tr(xI-A)$, isto é:

$$P(x)=det(xI-A)=\int tr(xI-A)$$

Aplicando na matriz $A$ apresentada:

$$P(x)=\int (x-d+x-a)dx=x^{2}-(a+d)+k$$

Onde $k$ é uma constante que podemos descobrir facilmente, já que para $x=0$, $P(0)=det(xI-A)=k$. Por outro lado, $P(0)=det(A)=ad-bc$. Portanto:

$$P(x)=x^{2}-(a+d)x+det(A)$$

$$P(x)=x^{2}-(a+d)x+ad-bc$$

Esse método é interessante, pois nos permite calcular o polinômio característico apenas com a integral do traço da matriz $xI-A$ e o determinante de $A$.

EXEMPLO 2.1 Seja $A=\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}$, a equação característica e a derivada do determinante ficam assim:

$$xI-A=$A=\begin{bmatrix} x-a_{1} & -b_{1} & -c_{1}\\-a_{2} & x-b_{2} & -c_{2} \\ -a_{3} & -b_{3} & x-c_{3} \end{bmatrix}$$

$$det(xI-A)'=\begin{bmatrix} 1 & -b_{1} & -c_{1}\\0 & x-b_{2} & -c_{2} \\ 0 & -b_{3} & x-c_{3} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x-a_{1} & 0 & -c_{1}\\-a_{2} & 1 & -c_{2} \\ -a_{3} & 0 & x-c_{3} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x-a_{1} & -b_{1} & 0\\-a_{2} & x-b_{2} & 0 \\ -a_{3} & -b_{3} & 1 \end{bmatrix}=$$

$$=[(x-b_{2})(x-c_{3})-c_{2}b_{3}]+[(x-a_{1})(x-c_{3})-a_{3}c_{1}]+[(x-a_{1})(x-b_{2})-b_{1}b_{3}]$$

Observe que as três parcelas entre colchetes são respectivamente os cofatores $\Delta_{11}$, $\Delta_{22}$, $\Delta_{33}$, da matriz $xI-A$.

Pelo resultado acima, podemos informalmente afirmar que que a derivada do polinômio característico é o traço da matriz de cofatores de $xI-A$, ou seja: $P'(x)=tr(\Delta (x))$. Desta forma, calculamos o polinômio característico pela seguinte integral:

$$P(x)=\int tr(\Delta (x))dx$$

EXEMPLO 2.2 Encontre o polinômio característico da matriz $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 \end{bmatrix}$

$$det(xI-A)=\begin{bmatrix} x & -1 & 0\\0 & x & -1 \\ -2 & -5 & x-4 \end{bmatrix}$$

$$\Delta_{11}=(x-4)+5$$

$$\Delta_{22}=x(x-4)$$

$$\Delta_{33}=x^{2}$$

Portanto, $tr(Delta (x))=3x^{2}-8x+5$. Assim, podemos concluir que:

$$P(x)=\int tr(\Delta (x))dx$$

$$P(x)=\int 3x^{2}-8x+5 dx$$

$$P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x+2$$

Calculando o determinante: $det(A)=2$, portanto:

$$P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x+2$$

4. POLINÔMIO CARACTERÍSTICO E A INTERPOLAÇÃO

Uma outra maneira bem interessante de se calcular o polinômio característico de uma matriz é usando a interpolação de Lagrange.

Seja $A$ uma matriz $n\times n$ e $P(x)$ seu polinômio característico. A ideia é aplicar o método de interpolação de Lagrange a uma função $f(x)=P(x)$, para $n$ pontos da interpolação, equidistantes entre si.

Desta forma, obtemos o seguinte:

$$f(x_{0})=det(0I-A)$$

$$f(x_{1})=det(1I-A)$$

$$ … $$

$$ … $$

$$f(x_{n})=det(nI-A)$$

Dessa forma, calculamos:

$$P(x)=\sum_{j=0}^{n}det(jI-A) \prod_{0\leqslant i, i\neq j}\frac{x-i}{j-i}$$

EXEMPLO 3.1 Dada a a matriz, $A=\begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&3\\0&0&-5\end{bmatrix}$, vamos achar a equação característica pelo método de interpolação de Lagrange. Calculando os pontos da interpolação temos:

$$f(x_{0})=f(0)=det(0I-A)=5$$

$$f(x_{1})=f(1)=det(I-A)=0$$

$$f(x_{2})=f(2)=det(2I-A)=7$$

$$f(x_{3})=f(3)=det(3I-A)=32$$

Temos então, que o polinômio interpolador será dado por:

$$P(x)=5\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}+0\frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}+7\frac{(x-1)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}+32\frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-1)(3-2)}=$$

$$=x^{3}+3x^{2}-9x+5$$

REFERÊNCIAS

• SHOKRANIAN, Salahoddin. Tópicos em Métodos Computacionais. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2009.

• POOLE, David. Álgebra linear. Rio de Janeiro: Pioneira Thomson Learning, 2004.

• STRANG, Gilbert. Álgebra Linear e suas aplicações. 4ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

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CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Determinante e Polinômio Característico Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, mar. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/03/determinantee-polinomio-caracteristico.html. Acessado em________.