Propriedade de Matrizes Exponenciais

  Propriedade de Matrizes Exponenciais

Métodos Computacionais

 

A função exponencial está bem presente na matemática, bem como sua inversa, o logaritmo natural. Isso torna esta função muito importante para vários campos da matemática e fora dela também. A exponencial também pode ser aplicada a matrizes e o nosso objetivo é apresentar algumas propriedades, e mais duas maneiras de calculá-las numericamente, por séries de Taylor e o método utilizando os autovalores da matriz.

1. SÉRIE DE TAYLOR

 

A fórmula de Taylor nos permite escrever uma expansão em série de potência da função $exp(x)$, para um número real $x$, além disso, temos o fato de que essa série converge em toda reta real.

$$exp(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$$

Esta expansão nos permite definir a função exponencial para matrizes quadradas. Desta forma, podemos definir a exponencial de uma matriz assim:

$exp(X)=I+\frac{x^{2}}{2!}X^{2}+...+\frac{x^{n}}{m!}X^{m}+...$

Onde $X$ é uma matriz quadrada $n\times$, e $I$ é a matriz identidade de mesma dimensão. Estudaremos a convergência de maneira informal, visualizando melhor pelos exemplos a seguir.

EXEMPLO 1.1: Sabemos que $exp(1)=e$, calcule o valor de $exp(I)$ pela expansão de Taylor.

$$I+\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}+\frac{1}{2!}\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}+...+\frac{1}{m!}\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}+...=$$

$$=I+\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{1}{2!} & 0\\0 & \frac{1}{2!} \end{bmatrix}+...+\begin{bmatrix}\frac{1}{m!} & 0\\0 & \frac{1}{m!}\end{bmatrix}+...=$$

$$=\begin{bmatrix}1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{m!} & 0\\0 & 1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{m!}\end{bmatrix}$$

Assim, podemos observar que cada entrada da matriz escrita no último termo da igualdade acima é composta por uma série de Taylor de um número real. Já sabemos que essa série converge para todo $x$ real, então podemos escrever a matriz da seguinte forma:

$$=\begin{bmatrix}1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{m!} & 0\\0 & 1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{m!}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e & 0 \\ 0 & e\end{bmatrix}$$

EXEMPLO 1.2: Calcular $exp(A)$, para $A=\begin{bmatrix}0&-5\\5&0 \end{bmatrix}$.

Sabemos que $$exp(A)=I+\frac{x^{2}}{2!}A^{2}+...+\frac{x^{n}}{m!}A^{m}+...$$ . Assim, calculando as potencias de $A$ para a soma de Taylor temos:

$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & -5 \\ 5 & 0\end{bmatrix}+\frac{1}{2!}\begin{bmatrix}-5^{2} & 0 \\ 0 & -5^{2}\end{bmatrix}+\frac{1}{3!}\begin{bmatrix}5^{4} & 0 \\ 0 & 5^{4}\end{bmatrix}+...=$$

$$=\begin{bmatrix}1-\frac{5^{2}}{2!}+\frac{5^{4}}{4!}+... & -5+\frac{5^{3}}{3!}-\frac{5^{5}}{5!}+... \\ 5-\frac{5^{3}}{3!}+\frac{5^{5}}{5!}-... & 1-\frac{5^{2}}{2!}+\frac{5^{4}}{4!}+...\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(5) & -sen(5) \\ sen(5) & cos(5)\end{bmatrix}$$

Na ultima igualdade lembramos da representação do seno e do cosseno em série de potência:

$$sen(\theta)=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$cos(\theta)=\sum_{0}^{infty}\frac{(-1)^n\theta^{2n}}{2n!}$$

De forma geral, temos que $exp(\begin{bmatrix}0 & \theta \\ -\theta & 0\end{bmatrix})= \begin{bmatrix}cos(\theta) & -sen(\theta) \\ sen(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}$ é uma matriz de rotação, ou seja, quando multiplicada por um vetor qualquer, provoca uma rotação desse vetor segundo um eixo mantendo a sua norma.

EXEMPLO 1.3 Sabendo que $e^{a+b}=e^{a}.e^{b}$, onde $a$ e $b$ são números reais, será que vale a mesma propriedade para exponencial de matrizes?

Sejam $A$ e $B$ duas matrizes $n \times n$, consideramos o Binômio de Newton para aplicar na fórmula de Taylor:

$$(A+B)^{l}=\sum_{k=0}^{l}\binom{l}{k}A^{k}B^{l-k}$$

Assim, podemos observar que a propriedade só será válida se $AB=BA$. Entretanto, no caso geral $exp(A)\neq exp(B)$.

 

2. MÉTODO DOS AUTOVALORES

 

Uma outra maneira de calcular a exponencial de uma matriz é pelo método dos autovalores da matriz.

Lembrando que o polinômio característico de uma matriz quadrada $A_{n\times n}$ é a equação para encontrar os autovalores $\lambda$ dessa matriz. E essa equação é definida por:

$$p(\lambda)=det(A-\lambda I)=0$$

Cada escalar, $\lambda$, que anula o polinômio característico recebe o nome de autovalor da matriz $A$. Se $v$ é um vetor não-nulo e $\lambda$ é um autovalor de $A$ para o qual:

$Av=\lambda v$

Então $v$ é denominado um autovetor da matriz $A$ associado ao autovalor $\lambda$.

Um resultado interessante é que toda matriz quadrada é um $zero$ de seu polinômio característico. Em outras palavras:

Seja:

$$p(\lambda)=det(A-\lambda I)=\lambda^{n}+a_{1}\lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda + a_{n}=0$$

então:

$$p(A)=A^{n}+a_{1}A^{n-1}+...+a_{n-1}A+a_{n}I=0$$

O resultado apresentado é um teorema atribuído a Cayley e Hamilton. E sua demonstração pode ser encontrada na referência [4].

EXEMPLO 2.1: Se $A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$, então a equação característica é $p(\lambda)=\lambda^{25}-2\lambda-8$ . Substituindo $\lambda$ por $A$, temos:

$$p(A)=A^{2}-2A-8=0$$

E esta última relação vemos que podemos expressar:

$$A^{2}=2A+8$$

Ainda podemos elevar a potências mais altas da seguinte forma:

$$A^{3}=A.A^{2}=12A+16I$$

$$A^{4}=A.A^{3}=40A+96I$$

E assim sucessivamente.

De modo geral, o teorema de Calyley-Hamilton nos garante que podemos escrever a potencia $A^{m}$ de uma matriz quadrada como uma combinação linear de $I$ e das potencias de $A$, isto é:

$$A^{n}=-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}A^{k}$$

Essa forma é mais simples do que calcular diretamente o produto de matrizes, e por isso deve ser uma boa ideia aplicar esse resultado na exponencial de matrizes.

Sem perda de generalidade, vamos supor que $A$ seja uma matriz $2\times 2$. Desta forma, de acordo com o resultado anterior, podemos escrever escrever a matriz $A$ como combinação de $I$ e $A$, e portanto:

$$exp(A)=a_{0}I+a_{1}A$$

A ideia é encontrar $a_{1}$ e $a_{0}$ pelas propriedades dos autovalores de $A$. Então, se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $\lambda^{n}$ é um auto valor para a matriz $A^{n}$, e portanto, $e^{\lambda}$ deve ser um autovalor para $exp(A)$. Dessa forma:

$$exp(A)v_{k}=e^{\lambda_{k}}v_{k}$$

Onde $\lambda_{k}$, são os autovalores e $v_{k}$ são autovetores de $A$. Por outro lado:

$$(a_{0}I+a_{1}A)v_{k}=(a_{0}+a_{1}\lambda)v_{k}$$

Assim, reunindo as duas últimas expressões, podemos garantir que, para os dois autovalores da matriz, $A_{2\times 2}$, temos a seguinte expressão:

$$exp(\lambda_{k})=a_{0}+a_{1}\lambda_{k}$$

Portanto, considerando as duas últimas expressões temos o seguinte sistema:

$$\left \{\begin{matrix} exp(\lambda_{1})=a_{0}+a_{1}\lambda_{1} \\ exp(\lambda_{1})=a_{0}+a_{1}\lambda_{2} \end{matrix}\right.$$

 

EXEMPLO 2.2 Ainda utilizando a matriz $A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$, resolvendo a equação característica, temos que $-\lambda_{1}=4$ e $\lambda_{2}=-2$. Assim, temos que:

$$\left \{\begin{matrix} e^{4}=a_{0}+4a_{1} \\ e^{-2}=a_{0}-2a_{1}\end{matrix}\right.$$

 

Resolvendo o sistema, temos que: $a_{0}=\frac{1}{3}(e^{4}+2e^{-2})$ e $a_{1}=\frac{1}{6}(e^{4}+2e^{-2})$ .

Portanto, como $exp(A)=a_{0}I+a_{1}A$, temos o seguinte:

$$exp(A)=\frac{1}{3}(e^{4}+2e^{-2})I+\frac{1}{6}(e^{4}+2e^{-2})A$$

$$=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}(e^{4}+2e^{-2}) & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}(e^{4}+2e^{-2})\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{1}{6}(e^{4}+2e^{-2}) & \frac{1}{6}(e^{4}+2e^{-2}) \\ \frac{1}{6}(9e^{4}-18e^{-2}) & \frac{1}{6}(9e^{4}-2e^{-2})\end{bmatrix}$$

Finalmente:

$$exp(A)=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 3e^{4}+2e^{-2}&e^{4}-2e^{-2}\\ 9e^{4}-18e^{-2} & 3e^{4}+2e^{-2} \end{bmatrix}$$

Observamos que todos os cálculos foram feitos sem a necessidade de se obter os autovetores de $A$.

EXEMPLO 2.3 Use o método de autovalores para mostrar que $exp(0)=I$, onde $0$ é a matriz nula de qualquer ordem.

Sem perda de generalidade, vamos supor que $A$ é uma matriz nula $4\times 4$, tal que $A=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$. Sabemos que a equação característica $det(A-\lambda I)=0$ tem solução $\lambda^{2}=0$. Assim, temos que, pelos resultados obtidos acima, $exp(\lambda)=a_{0}I+a_{1}\lambda$ e, portanto, $exp(0)=a_{0}$ e $a_{0}=1$. Utilizando agora o nosso segundo resultado temos:

$$exp(0)=a_{0}I+a_{1}A=1I+a_{1}\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=I$$

CONCLUSÃO

Considerando a importância do estudo da função exponencial aplicado à matrizes, vimos duas maneiras de calcular a exponencial de matrizes de maneiras bem simples. Vimos também que algumas propriedades da exponencial para números reais são preservadas quando estendida para matrizes, como exemplo $exp(0)=I$, em comparação com $e^{0}=1$. Outras propriedades, porém, só funcionam em casos particulares, como $exp(A+B)=exp(A)exp(B)$, que só é válido para o caso em que $AB=BA$. Em todo caso, experimentamos a eficiência e elegância dos métodos apresentados.

REFERÊNCIAS

• [1] SHOKRANIAN, Salahoddin. Tópicos em Métodos Computacionais. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2009.

• [2] Exponencial de Matrizes e Aplicações a Sistemas Lineares de EDO's. Disponível em: http://www.mat.puc-rio.br/~jairo/MAT1154/exp.pdf - Acessado em Nov. 2016

• [3] KLAIN, Dan. The Matrix Exponential and Linear Systems of ODEs (with exercises) . Version: 2019/10/03. Disponível em: http://faculty.uml.edu/dklain/exponential.pdf. Acessado em Março de 2021.

• [4] MIRANDA, Daniel. Estrutura dos Operadores Lineares. UFABC, 2012, Versão 0.37. Disponível em: https://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/disciplinas/algebra-linear-avancada/demonstracoes-do-teorema-de-jordan/ Acessado em: Março de 2021.

   

   

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  CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Propriedade de Matrizes Exponenciais: Métodos Computacionais. Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, mar. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/03/propriedadede-matrizes-exponenciais.html. Acessado em________.