Método de Simpson Simples

Método de Integração Numérica

Calcular uma integral nem sempre é um trabalho fácil. Em determinadas situações, as integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Na prática podem aparecer funções que não são explicitadas por fórmulas, mas sim com dados experimentais. O método de Simpson Simples é uma ferramenta para obter uma aproximação numérica de uma integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$. Este método baseia-se em aproximar a integral definida pela área sob arcos de parábola que interpolam a função.

1. O MÉTODO DE SIMPSON SIMPLES

O método de Simpson simples para calcular a integral definida de uma função $f(x)$, contínua num intervalo $[\alpha,\beta]$, está baseada na ideia de aproximar a função $f(x)$ por um polinômio $P_{2}(x)$, de grau $2$, como sugere o gráfico ao lado, e é obtido pela interpolação dos pontos a seguir:

 

$$[(\alpha, f(\alpha)), (\frac{\alpha+\beta}{2}, f(\frac{\alpha+\beta}{2})), (\beta, f(\beta))]$$  

Dessa forma, temos o objetivo de calcular a integral $I=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$ aproximando a função $f(x)$ por um polinômio interpolador de grau 2, $P_2(x)$, que é dado pela formula de Lagrange:

 

$$P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}f(x_i)\frac{\prod_{j=0,j\neq 1}^{2}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neq 1}^{2}(x_{i}-x_j)}$$

Desta forma, fazendo uma mudança de variável temos o seguinte:

$x_{0}=\alpha, x_{2=\beta}$	$x_{0}-x_{1}=-h$	$x_{0}-x_{2}=-2h$
$x_{1}=\frac{\alpha+\beta}{2}$	$x_{1}-x_{0}=h$	$x_{1}-x_{2}=-h$
$h=\frac{\beta-\alpha}{2}$	$x_{2}-x_{0}=2h$	$x_{2}-x_{1}=h$

Logo, o polinômio fica assim:

$P_{2}(x)=f(x_{0})\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(-h)(-2h)}+f(x_{1})\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(h)(-h)}+f(x_{2})\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(2h)(h)}$

Desenvolvendo esta expressão, obtemos a sguinte fórmula:

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int_{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\approx\int_{x_{0}}^{x_{2}}P_{2}(x)dx$

$$\frac{f(x_{0})}{2h^{2}}\int_{x_{0}}^{x_{2}}(x-x_{1})(x-x_{2})dx-\frac{f(x_{1})}{h^{2}}\int_{x_{0}}^{x_{2}}(x-x_{0})(x-x_{2})dx+\frac{f(x_{1})}{2h^{2}}\int_{x_{0}}^{x_{2}}(x-x_{0})(x-x_{1})dx=$$

$$=\frac{h}{3}[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})]$$

E esta é a fórmula do método de Simpson para calcular as integrais. E observe que, com a fórmula em mãos, não precisamos mais conhecer o polinômio interpolador (o que muitas vezes pode ser muito trabalhoso calculá-lo), apenas o valor de sua integral.

 

Exemplo 1: Determinar o valor da integral:

$$A=\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}dx$$

Nesse caso, temos que considerar três pontos no intervalo $[\alpha, \beta]=[1,7]$ para a interpolação. (veja o gráfico 2 abaixo), são eles:

$x_{0}=1$, $x_{1}=\frac{1+7}{2}=4$ e $x_{2}=7$.

Pelo método de Simpson, o valor dessa integral deve ser:

$$I=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]=$$

$$= \frac{3}{3}[\frac{1}{1^2}+4\frac{1}{4^2}+\frac{1}{7^2}]=$$

$$= \frac{249}{196}= 1,270408163$$

E o polinômio interpolador é dado por:

$$P_{2}(x)=\frac{1}{1^2}\frac{(x-4)(x-7)}{(-3)(-2\times3)}+\frac{1}{4^2}\frac{(x-1)(x-7)}{3\times(-3)}+\frac{1}{7^2}\frac{(x-1)(x-4)}{2\times 3\times 3}$$

Portanto:

$$P_{2}(x)=\frac{39x^{2}-440x+1185}{784}$$

 

Se, porém, calcularmos a integral diretamente temos que: $\int_{0}^{7}\frac{1}{x^2}dx=\frac{6}{7}=0.85714285714285$. Essa diferença é o erro gerado pela aproximação da função $f(x)$ pela parábola dada pelo polinômio $P_{2}(x)$. Esse erro será trabalhado logo a seguir.

Exemplo 2: Calcular a integral:

$$I=\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx$$

Considere a seguinte tabela:

$x_{i}$	$f(x_{i})$
$0$	$1$
$0,5$	$0,77880078307$
$1$	$0,36787944117$

Usando o método de Simpson, temos os pontos sugeridos no gráfico abaixo:

Para $I=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]=$, temos:

$$I=\frac{1}{6}[1+4(0,77880078307)+(0,36787944117)]=0.74718042891$$

Calculando esta integral no Software matemático, WxMáxima (ou similares), conferimos que o valor mais exato dessa integral é $I=\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\approx 0,74718042891$. Novamente, vemos que há uma diferença, que foi gerada pela aproximação. 

 

2. CALCULO ERRO NO MÉTODO DE SIMPSON

 

O erro no cálculo do método de Simpson pode ser estimado pela expressão:

$$|E|\leqslant \frac{h^{5}}{90}f^(4)(\xi)$$

onde $f^{(4)}(\xi)=Máx|f^{(4)}(x)|$, e $x\in[\alpha ,\beta ]$. Esta formula não será demonstrada por ser muito longa.

Todavia, voltando ao exemplo 2, o erro calculado é dado por:

 

$$Máx|f^{(4)}(\xi)|=12$$

 

pois $f^{(4)}(x)=4e^{-(x^{2})}(4x^4-12x^2+3)$. E, Analisando o gráfico ao lado, correspondente a função $f^{(4)}(x)$, vemos que essa função tem o valor máximo em $f^{(4)}(0)=12$

 

Logo, o erro é: $|E|\leqslant 12\frac{0,5^{5}}{90}=0,00416666$

Da mesma maneira, calculando o erro do exemplo1, temos: $Máx|f^{(4)}(\xi)|=120$, Pois $f^{(4)}(x)=\frac{120}{x^{6}}$, e tem o valor máximo estimado em $f^{4}(1)=120$.

Assim, podemos perceber que $|E|\leqslant 120 \frac{3^{5}}{90}=324$ é um erro muito grande, pois o intervalo escolhido é relativamente grande.

 

3. MELHORANDO A APROXIMAÇÃO DA INTEGRAL

 

Uma solução para melhorar a aproximação dessas integrais é repetir o procedimento usado no método de Simpson simples, subdividindo o intervalo em $n$ pares e interpolando com mais parábolas, como sugere o gráfico abaixo.

Desta forma, tomamos $h=\frac{b-a}{m}$ para $h=x_{i}x_{j}$ , $(i=1, 2,..., m)$ , $$m=2n$, pois o número de subdivisão é par. Então, aplicando a regra de Simpson repedidas vezes no intervalo $[\alpha, \beta]=[x_{0}, x_{m}]$, onde $x_{0},…,x_{m}$ são pontos igualmente espaçados.

Desta forma obtemos:

$$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int_{x_{0}}^{x{m}}f(x)dx \approx\frac{h}{3}[f(x_{0})+4f(x{1}+f(x_{2}))]+\frac{h}{3}[f(x_{2})+4f(x{3}+f(x_{4}))]+...+\frac{h}{3}[f(x_{m-2})+4f(x{m-1}+f(x_{m}))]$$

Portanto:

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(x_{0})+f(x_{m})]+2[f(x_{2})+f(x_{4})+...+ f(x_{m-2})]+4[f(x_{1})+f(x_{3})+...+f(x_{m-1})]$

Finalmente:

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(x_{0})+f(x_{m})+\sum_{i=1}^{\frac{m}{2}-1}f(x_{2i})+\sum_{i=1}^{\frac{m}{2}}f(x_{2i-1})]$

Agora, podemos obter uma estimativa melhor da integral do exemplo 1, isto é, calcular a integral $A=\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}dx$, repetindo o método de Simpson com $m=10$ subdivisões, por exemplo.

Temos então os seguintes pontos:

$x_{0}=1$	$x_{1}=1,6$
$x_{2}=2,2$	$x_{3}=2,8$
$x_{4}=3,4$	$x_{5}=4$
$x_{6}=4,6$	$x_{7}=5,2$
$x_{8}=5,8$	$x_{9}=6,4$
$x_{10}=7$

Calculando os termos do método de Simpson, temos que:

$$\sum_{i=1}^{4}f(x_{2i})=f(x_{2})+f(x_{4})+f(x_{6})+f(x_{8})=\frac{1}{2,2^{2}}+\frac{1}{3,4^{2}}+\frac{1}{4,6^{2}}+\frac{1}{5,8^{2}}=0,37010225581$$

e:

$$\sum_{i=1}^{5}f(x_{2i-1})=f(x_{1})+f(x_{3})+f(x_{5})+f(x_{7})+f(x_{9})=$$

$$=\frac{1}{1,6^{2}}+\frac{1}{2,8^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5,2^{2}}+\frac{1}{6,4^{2}}= 0,64207233142$$

Portanto:

$$A\approx\frac{0,6}{3}[\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+2(0,37010225581)+4(0,64207233142)]= 0,86578040011$$

 

4. CALCULANDO O ERRO

 

Considerando agora que o novo erro é $|E|\leqslant n\frac{h^{5}}{90}|f^{(4)}(\xi)|$, e que $h=\frac{b-a}{m}$, e então: $h^{5}=\frac{(b-a)^{5}}{90(2n)^{5}}$ , logo, o erro pode ser estimado assim:
$$|E|\leqslant\frac{h^{5}}{2880n^{4}}f^{(4)}(\xi)$$

Portanto, para o exemplo anterior, temos que $|E|\leqslant\frac{3^{5}}{2880\times 5^{4}}=0,5184$. O que corresponde a um erro muito pequeno em relação ao anterior.

CONCLUSÃO

Devido à dificuldade ou até impossibilidade de se calcular algumas integrais analiticamente, temos disponíveis algumas ferramentas para calcular essas integrais numericamente, e com excelente aproximação. Dentre as ferramentas, foi estudada o método de Simpson Simples para calcular integrais. Este método mostrou-se bastante eficaz para intervalos pequenos. Porém, ao aumentar o intervalo, as aproximações perdem a acurácia. Entretanto, ao repetir o método, subdividindo um intervalo grande em vários subintervalos, vimos que as aproximações melhoraram e ficaram muito próximas do valor real, comprovando a eficácia do método.

REFERÊNCIAS

• RUGGIERO, Maria A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1997.

• SHOKRANIAN, Salahoddin. Tópicos em Métodos Computacionais. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2009.

• PILLING, Sérgio. Cálculo Numérico: integração Numérica. Apostila disponível em: http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt6.pdf Acesso: Out. de 2016

   

   

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  CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Método de Simpson Simples: método de integração numérica. Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, mar. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/03/metodode-simpson-simples-metodode.html. Acessado em________.