TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA

TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA


As maneiras de decidir se um dado a é quadrado módulo m é um estudo muito importante em teoria dos números. Grandes matemáticos contribuíram para desenvolver o resultado principal sobre reciprocidade quadrática, cujo objetivo é decidir quando uma equação do tipo x^{2}\equiv a(mod\: m) tem solução módulo m.

Existem mais de 250 maneiras de demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. O objetivo deste trabalho é apresentar 3 demonstrações elementares desse teorema.

Vamos primeiramente enunciar a Lei de reciprocidade quadrática e depois apresentar as demonstrações juntamente com as ferramentas necessárias para as tais demonstrações:


LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA


Sejam P e q primos ímpares distintos. Então:

(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}


1. PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO


Nesta primeira parte, para demonstrar o Teorema será apresentado três ferramentas que serão usadas na demonstração.


1.1 Lema de Gauss


Sejam a e p números naturais, e p é um primo tal que (a,p=1). E sejam r_{1}, …,r_{\frac{p-1}{2}}, os restos da divisão por p dos números a, 2a, …, \frac{p-1}{2}a, respectivamente. Se k é a quantidade dos r_{i} que são maiores que \frac{p-1}{2}, então:

(\frac{a}{p})=(-1)^{k}

onde (\frac{a}{p}) é o símbolo de Legendre.


1.1.1 Demonstração do Lema de Gauss:


Para demonstrar esse lema, inicialmente será observado o seguinte:

  • Como a é relativamente primo com p, então a, 2a, …, \frac{p-1}{2} é incongruente módulo p, e isso implica que os restos r_{1}, … ,r_{\frac{p-1}{2}} das suas divisões por p são distintos. Pois 1\leq r_{i}\leq p-1.

  • Será considerado agora o conjunto desses restos \left\{r_{1}, …, r_{\frac{p-1}{2}} \right\} e será dividido em duas partes: O primeiro subconjunto será \left\{ b_{1}, ... , b_{k} \right\} formado pelos elementos maiores do que \frac{p-1}{2}. O segundo subconjunto será \left\{ c_{1}, ... , c_{l} \right\}, que é formado pelos elementos menores ou iguais a \frac{p-1}{2}. Observando que, neste caso, k+l=\frac{p-1}{2}.

  • Observe ainda que: p-b_{1}, …, p-b_{k} são distintos entre si, e menores que \frac{p-1}{2}. Além disso, esses números são distintos de \left\{ c_{1}, ... , c_{l} \right\}, pois se p-b_{i} fosse igual a algum c_{j} ter-se-ia b_{i}\equiv c_{j}(mod\: p), o que não ocorre, pois a união dos b_{i} com c_{j} são os restos, que são incongruentes modulo p.

  • Como k+l=\frac{p-1}{2}, tem-se que:

    \left\{p-b_{1}, … , p-b_{k} \right\}\cup \left\{p-c_{1}, ... , p-c_{l} \right\}=\left\{ 1, 2, … , \frac{p-l}{2} \right\}

Assim, pode-se concluir que o produto:

c_{1}...c_{l}(p-b_{1})...(p-b_{k})=(\frac{p-1}{2})! (*)

Por outro lado, para cada i\in \left\{1, 2, …, \frac{p-1}{2} \right\}, temos que a_{i}=pq_{i}+r_{i}, segue que, multiplicando essas equações, tem-se que o produto dos r_{i} será igual a um múltiplo de p vezes o produto dos a_{i}, ou seja:

r_{1}.r_{2}...r_{\frac{p-1}{2}}=A.p+(a)(2a)...(\frac{p-1}{2}a)

Isso deve ser igual a:

A.p+a^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-1}{2})!

Conclui-se que:

b_{1}...b_{k}.c_{1}...c_{l}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-1}{2})!(mod\: p) (**)

Das duas identidades acima, (*) e (**), podemos ver que:

b_{1}...b_{k}.c_{1}...c_{l}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(p-b_{1})...(p-b_{k})c_{1}...c_{l}(mod\: p)

Observando que c_{1}...c_{l} são primos com p. Portanto, por cancelamento, temos:

b_{1}...b_{k}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(p-b_{1})...(p-b_{k})(mod\: p)


Como (p, p-b_{i})=1, para cada i existe d_{i} tal que:

d_{i}(p-b_{i})\equiv 1(mod\: p)


Multiplicando a expressão acima pelo produto dos d_{i} temos:

d_{1}...d_{k}...b_{1}...b_{k}\equiv -1 mod\: p


Note que, d_{i}.b_{i}\equiv -1 mod\: p, portanto:

d_{1}...d_{k}...b_{1}...b_{k}\equiv \left\{\begin{matrix} 1\: se\: k\: for\: par \\ -1\: se\: k\: for\: ímpar \end{matrix}\right.


Finalmente, obtemos:

(-1)^{k}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{a}{p}) mod\: p

onde, (\frac{a}{p}) é o símbolo de Legendre.


1.2 Exemplo: Verificar se 2 e 3 são resíduos quadráticos módulo 13.

  Solução:

  • Para a=2, temos que os restos da divisão de a, 2a , 3a, 4a, 5a, 6a por 13 são respectivamente: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Destes, apenas 8, 10, 12 são maiores do que \frac{p-1}{2}=6. Portanto, segue o símbolo de Legendre:

    (\frac{2}{13})=(-1)^3=-1

Portanto, 2 não é resíduo quadrático módulo 13.

  • Para a=3 temos que o resto da divisão de a, 2a, 3a, 4a, 5a, e 6a por 13 são 3, 6, 9, 12, 2, 5. Destes, apenas dois são maiores do que 6. Logo:

    (\frac{3}{13})=(-1)^2=1

Portanto, 3 é um resíduo quadrático módulo 13.


Um outro resultado que precisa ser mostrado é o Lema de Eisenstein, mas, para isso, é necessário enunciar a seguinte proposição:


1.3 Proposição: Sejam a e p números naturais, e p é um primo tal que: (a,p)=1. E seja p' e \gamma tal que:

p'=\frac{p-1}{2}


\gamma=[\frac{a}{p}]+[\frac{2a}{p}]+...+[\frac{p'a}{p}]

temos que:

(\frac{a}{p})=(-1)^{\gamma}


Onde o símbolo [\frac{a}{p}] é a função maior inteiro maior ou igual a: \frac{a}{p}.


1.3.1 Demonstração:


Assim como fizemos no Lema de Gauss, consideramos r_{1},...,r_{p}, os restos da divisão por p dos números a, 2a,...p.a, respectivamente.

Desta forma temos:

a=p[\frac{a}{p}]+r_{1}

2a=p[\frac{2a}{p}]+r_{2}

...

p'.a=p[\frac{p'.a}{p}]+r_{p'}


Somando membro a membro, obtemos:

\frac{p^{2}-1}{8}=(1+...+p.a)=p\gamma+r_{1}+...+r_{p'}

De modo análogo ao que fizemos na demonstração do Lema de Gauss, também usamos B=b_{1}+...+b_{k}, e C=c_{1}+...+c_{l}, obtendo, portanto:

r_{1}+...+r_{p}=B+C

Logo:

\frac{p^2-1}{8}a=p\gamma+C+B (*)

Entretanto, ainda temos que, \left\{c_{1}, ..., c_{l}, ..., p-b_{1}, ..., p-b_{k}\right\}=\left\{1, …, p' \right\}. Portanto, vemos que:

\frac{p^2-1}{8}=1+...+p=p\gamma-B+C (**)

Subtraindo a equação (**) de (*), obtemos:

\frac{p^2-1}{8}(a-1)=p(\gamma-k)+2B

Observe que a-1 é par, pois a é ímpar, e P é um primo ímpar. Desta forma, o lado esquerdo da igualdade é par. No lado direito, 2B é par, portanto, p(\gamma-k) deve ser par. Logo, decorre da igualdade acima que \gamma e k têm a mesma paridade. E, portanto, segue do lema de Gauss que:

(\frac{a}{p})=(-1)^{k}=(-1)^{\gamma}

concluindo assim a demonstração da proposição.


1.4 Exemplo: Verificar se x^{2}+17y=7 tem solução inteira.

Solução:

Pela proposição acima, sabe-se que a equação tem solução inteira se, e somente se, 7 é resíduo quadrático módulo 17.

Assim:

\gamma=[\frac{a}{p}]+[\frac{2a}{p}]+...+[\frac{p'.a}{p}]=

= [\frac{7}{17}]+[\frac{14}{17}]+[\frac{21}{17}]+[\frac{28}{17}]+[\frac{35}{17}]+[\frac{42}{17}]+[\frac{49}{17}]+[\frac{56}{17}]=11

Portanto, (\frac{7}{17})=(-1)^{11}=-1

Logo, 7 não é resíduo quadrático módulo 17, e a equação não tem solução nos inteiros.

Finalmente, será enunciado o Lema de Eisenstein, que será provado mais adiante, na 2ª demonstração.


1.5 Lema de Eisenstein


Sejam p e q primos ímpares distintos. Então:

[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+...+[\frac{\frac{p-1}{2}q}{p}]+[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+...+[\frac{\frac{q-1}{2}p}{q}]=(\frac{p-1}{2})(\frac{q-1}{2})


Finalmente, com essas ferramentas em mãos, podemos então demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. Vamos relembrar o enunciado e mostrar o resultado seguinte:


1.6 Lei da Reciprocidade Quadrática:


Sejam p e q primos ímpares distintos. Então:

(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}


1.6.1 Demonstração:


Sejam:

\gamma=[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+...+[\frac{\frac{q-1}{2}p}{q}]

e:

\gamma'=[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+...+[\frac{\frac{p-1}{2}q}{p}]


Vimos que:

(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\gamma}(-1)^{\gamma'}=(-1)^{\gamma+\gamma'}=

=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}


Onde a primeira igualdade é devido ao lema de Gauss e a última igualdade é devido ao lema de Eisenstein.


1.7 Exemplo: Verificar se 31 é um resíduo quadrático módulo 41.

Solução:

Observe que 31 e 41 são primos. Então, decorre da lei de reciprocidade quadrática que:

(\frac{31}{41})(\frac{41}{31})=(-1)^{15}(-1)^{20}=-1

portanto: (\frac{31}{41})=-(\frac{41}{31}).

Observe que 41\equiv 10 mod\: 31 . Tem-se então que:

(\frac{41}{31})=(\frac{10}{31})=(\frac{2}{31})(\frac{5}{31})=(-1)^{15}(-1)^{2}=-1

Também temos que 31\equiv 1 mod\: 5, e portanto,

(\frac{5}{31})=-(\frac{31}{5})=-1

Da mesma forma, observe que:

(\frac{2}{31})\equiv 2^{15}\equiv 1\: mod\: 31

portanto, (\frac{2}{31})=1, e:


(\frac{31}{41})=-(\frac{41}{31})=-(\frac{10}{3})=-(\frac{2}{31})(\frac{5}{3})=(-1)(-1)=1


Finalmente, temos que 31 é um resíduo quadrático módulo 41.


2. SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO

 

2.1 Lei de reciprocidade Quadrática


Esta demonstração usa argumentos geométricos e foi apresentada originalmente por Eisenstein.

Considere o Retângulo ABCD de vértices:

A=(0,0), B=(\frac{p}{2},0), C=(\frac{p}{2},\frac{Q}{2}), D=(0,\frac{q}{2})

Marcamos, em seu interior os pontos que pertencem ao produto cartesiano dos conjuntos \left\{1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} \right\} e \left\{1, 2, 3, …, \frac{q-1}{2} \right\}, como apresentados na figura abaixo:


 

Ao contarmos o número de pontos no interior da figura, podemos concluir que esse número é igual a:

\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}

Considera-se então a equação da reta que passa por A e C, isto é, y=(\frac{q}{p})x. Como os números 1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} são todos primos com p, esta reta não contém nenhum dos pontos de interiores contados acima. Além disso, esta reta intercepta as retas x=k, paralelas ao eixo y, nos pontos (k, \frac{kq}{p}). Tem-se então que \frac{kq}{p} não é um número inteiro, para qualquer k no conjunto \left\{1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} \right\}, e assim, o número de pontos da reta x=k que estão acima do eixo x e abaixo da reta y=(\frac{q}{p})x é

dado por \left \lfloor \frac{kq}{p} \right \rfloor. Logo temos que:

M=\left \lfloor \frac{q}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2q}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3q}{p} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{p-1}{2}\frac{q}{p} \right \rfloor

onde M é o número de pontos no interior do triângulo ABC, da figura acima.

Analogamente, considerando a intersecção das retas y=k, paralelas ao eixo x, com a reta reta y=(\frac{q}{p})x, obtemos o número:

N=\left \lfloor \frac{p}{q} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2p}{q} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3p}{q} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{q-1}{2}\frac{p}{q} \right \rfloor

onde N é o número de pontos no interior do triângulo ACD, da figura acima.

Portanto, temos que a seguinte igualdade, que é lema de Eisenstein, enunciado anteriormente:

M+N=\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}

Mas como já foi mostrado, pela Proposição no item 1.3, temos que:

(\frac{q}{p})=(-1)^M

e também:

(\frac{p}{q})=(-1)^N

Isso implica o resultado esperado, a lei de reciprocidade quadrática:

(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{M+N}=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}


3. TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO


A seguinte demonstração é devida a Gauss, e antes de demonstrar, comecemos apresentando algumas ferramentas que precisaremos utilizar, além das que foram mostradas anteriormente.


3.1 Definição (resto principal):


Para um número m>1 e um número inteiro a, o Resto Principal de a módulo m é o único inteiro, denotado r_{m}(a), no intervalo semiaberto e semifechado (\frac{-m}{2}, \frac{m}{2}], tal que a\equiv r_{m}(a) mod\: m.

Para cada número s no conjunto U=\left\{1, 2, 3, …,\frac{p-1}{2} \right\}, com p primo ímpar e a um inteiro, considera-se os restos principais r_{p}(as). Se |r_{p}(as)| é o valor absoluto de r_{p}(as) e então definimos e_{s}(a) para que a seguinte congruência seja válida:

as\equiv e_{s}(a)|r_{p}(as)|(mod\: p)

De forma que, e_{s}=1, se r_{p}>0. E e_{s}(a)=1, se r_{p}(as)<0.


3.2 Lema Trigonométrico de Tchebycheff


Seja m um número ímpar, então:

\frac{sen(mu)}{sen(u)}=(-4)^{\frac{m-1}{2}}\prod_{j=1}^{\frac{m-1}{2}}(sen^{2}(u)-sen^{2}(\frac{2\pi j}{m}))


Além disso vamos precisar de mais uma proposição para seguir com a Demonstração do teorema de reciprocidade quadrática. A demonstração deste Lema pode ser encontrada no livro Introdução à Teoria dos Números, página 195, do professor dr. Shokranian (vide a seção de referências).


3.3 Proposiçã: Vale a igualdade:

(\frac{a}{p})=\prod_{s\in U}e_{s}(a)

E essa informação decorre diretamente do lema de Gauss, já apresentado, pois temos que:

\prod_{s \in U}e_{s}(a)=(-1)^{k}=(\frac{a}{p})

Tendo isso em mãos, vamos apresentar novamente a demonstração do Teorema de Reciprocidade Quadrática:


3.4 Lei de Reciprocidade Quadrática:


Sejam P e q primos ímpares distintos. Então:

(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}


3.4.1 Demonstração:


Pelo Lema 3 vale a seguinte igualdade: \frac{q}{p}=\prod_{s\in U}e_{s}(a).

Mas, se qs\equiv e_{s}(q)|r_{p}(qs)|(mod p), então conclui-se que existe um número inteiro t tal que, qs=e_{s}(q)|r_{p}(qs)|+tp. Assim, temos:


sen(\frac{2\pi}{p}qs)=sen(e_{s}(q)|r_{p}(qs)|+tp)=

= sen(e_{s}(q)\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|+2\pi t)=

=sen(e_{s}(q)\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)=

E como e_{s}(q)=\pm 1, a expressão acima fica assim:

e_{s}(q)sen(\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)


Finalmente, reescrevemos a igualdade da seguinte forma:

(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}\frac{sen(\frac{2\pi}{p}qs)}{sen(\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)}

Por outro lado, podemos reescrever o conjunto U como: U=\left\{|r_{1}|, |r_{2}|, …, |r_{\frac{p-1}{2}}| \right\}, pois a definição do resto principal implica que A=\left\{|r_{1}|, |r_{2}|, …, |r_{\frac{p-1}{2}}| \right\} está contido em U. Além disso, no conjunto de \frac{p-1}{2}, nenhum dos elementos são iguais, portanto este conjunto é igual a U. Desta maneira, reescrevemos U como:

 

\left\{1,2,3,...,\frac{p-1}{2} \right\}=\left\{|r_{p}(1q)|, |r_{p}(2q)|, …, |r_{p}(\frac{p-1}{2}q)| \right\}


Logo obtemos:

 

(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}\frac{sen(\frac{2\pi}{p}qs)}{sen(\frac{2\pi}{p}s)}

 

Usando o Lema trigonométrico para m=q e x=\frac{2\pi s}{p}, obtemos:

 

(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}(-4)^{\frac{p-1}{2}}=\prod_{t=1}^{\frac{q-1}{2}}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{p})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{q}))=


=(-4)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\prod_{s\in U}\prod_{t\in T}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{p})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{q}))


Pois a cardinalidade de U é card(U)=\frac{p-1}{q}, e considerado que T=\left\{1,2,3,...,\frac{q-1}{2} \right\}. Repetindo o mesmo procedimento para \frac{p}{q}, e, conservando as definições dos conjuntos U e T, teremos:

(\frac{p}{q})=\prod_{s\in U}(-4)^{\frac{q-1}{2}}=\prod_{s=1}^{\frac{p-1}{2}}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{q})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{p}))=


=(-4)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\prod_{s\in U}\prod_{t\in T}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{q})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{p}))


Sendo assim, ao compararmos os resultados acima obtemos:

(\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}

E de fato, essa equação equivale ao enunciado da lei de reciprocidade quadrática:

(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}

Pois os símbolos de Legendre assumem valores +1 e -1.


Com isso finalizamos a demonstração.

 



REFERÊNCIAS:



Quer citar este artigo no seu tabalho? Você pode usar a seguinte referência:

CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Três Demonstrações do Teorema de Reciprocidade Quadrática. Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, abr. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/04/tresdemonstracoes-do-teorema-de.html. Acessado em________:

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