TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA
TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA
As maneiras de decidir se um dado a é quadrado módulo m é um estudo muito importante em teoria dos números. Grandes matemáticos contribuíram para desenvolver o resultado principal sobre reciprocidade quadrática, cujo objetivo é decidir quando uma equação do tipo x^{2}\equiv a(mod\: m) tem solução módulo m.
Existem mais de 250 maneiras de demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. O objetivo deste trabalho é apresentar 3 demonstrações elementares desse teorema.
Vamos primeiramente enunciar a Lei de reciprocidade quadrática e depois apresentar as demonstrações juntamente com as ferramentas necessárias para as tais demonstrações:
LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA
Sejam P e q primos ímpares distintos. Então:
(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}
1. PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO
Nesta primeira parte, para demonstrar o Teorema será apresentado três ferramentas que serão usadas na demonstração.
1.1 Lema de Gauss
Sejam a e p números naturais, e p é um primo tal que (a,p=1). E sejam r_{1}, …,r_{\frac{p-1}{2}}, os restos da divisão por p dos números a, 2a, …, \frac{p-1}{2}a, respectivamente. Se k é a quantidade dos r_{i} que são maiores que \frac{p-1}{2}, então:
(\frac{a}{p})=(-1)^{k}
onde (\frac{a}{p}) é o símbolo de Legendre.
1.1.1 Demonstração do Lema de Gauss:
Para demonstrar esse lema, inicialmente será observado o seguinte:
Como a é relativamente primo com p, então a, 2a, …, \frac{p-1}{2} é incongruente módulo p, e isso implica que os restos r_{1}, … ,r_{\frac{p-1}{2}} das suas divisões por p são distintos. Pois 1\leq r_{i}\leq p-1.
Será considerado agora o conjunto desses restos \left\{r_{1}, …, r_{\frac{p-1}{2}} \right\} e será dividido em duas partes: O primeiro subconjunto será \left\{ b_{1}, ... , b_{k} \right\} formado pelos elementos maiores do que \frac{p-1}{2}. O segundo subconjunto será \left\{ c_{1}, ... , c_{l} \right\}, que é formado pelos elementos menores ou iguais a \frac{p-1}{2}. Observando que, neste caso, k+l=\frac{p-1}{2}.
Observe ainda que: p-b_{1}, …, p-b_{k} são distintos entre si, e menores que \frac{p-1}{2}. Além disso, esses números são distintos de \left\{ c_{1}, ... , c_{l} \right\}, pois se p-b_{i} fosse igual a algum c_{j} ter-se-ia b_{i}\equiv c_{j}(mod\: p), o que não ocorre, pois a união dos b_{i} com c_{j} são os restos, que são incongruentes modulo p.
Como k+l=\frac{p-1}{2}, tem-se que:
\left\{p-b_{1}, … , p-b_{k} \right\}\cup \left\{p-c_{1}, ... , p-c_{l} \right\}=\left\{ 1, 2, … , \frac{p-l}{2} \right\}
Assim, pode-se concluir que o produto:
c_{1}...c_{l}(p-b_{1})...(p-b_{k})=(\frac{p-1}{2})! (*)
Por outro lado, para cada i\in \left\{1, 2, …, \frac{p-1}{2} \right\}, temos que a_{i}=pq_{i}+r_{i}, segue que, multiplicando essas equações, tem-se que o produto dos r_{i} será igual a um múltiplo de p vezes o produto dos a_{i}, ou seja:
r_{1}.r_{2}...r_{\frac{p-1}{2}}=A.p+(a)(2a)...(\frac{p-1}{2}a)
Isso deve ser igual a:
A.p+a^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-1}{2})!
Conclui-se que:
b_{1}...b_{k}.c_{1}...c_{l}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-1}{2})!(mod\: p) (**)
Das duas identidades acima, (*) e (**), podemos ver que:
b_{1}...b_{k}.c_{1}...c_{l}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(p-b_{1})...(p-b_{k})c_{1}...c_{l}(mod\: p)
Observando que c_{1}...c_{l} são primos com p. Portanto, por cancelamento, temos:
b_{1}...b_{k}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(p-b_{1})...(p-b_{k})(mod\: p)
Como (p, p-b_{i})=1, para cada i existe d_{i} tal que:
d_{i}(p-b_{i})\equiv 1(mod\: p)
Multiplicando a expressão acima pelo produto dos d_{i} temos:
d_{1}...d_{k}...b_{1}...b_{k}\equiv -1 mod\: p
Note que, d_{i}.b_{i}\equiv -1 mod\: p, portanto:
d_{1}...d_{k}...b_{1}...b_{k}\equiv \left\{\begin{matrix} 1\: se\: k\: for\: par \\ -1\: se\: k\: for\: ímpar \end{matrix}\right.
Finalmente, obtemos:
(-1)^{k}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{a}{p}) mod\: p
onde, (\frac{a}{p}) é o símbolo de Legendre.
1.2 Exemplo: Verificar se 2 e 3 são resíduos quadráticos módulo 13.
Solução:
Para a=2, temos que os restos da divisão de a, 2a , 3a, 4a, 5a, 6a por 13 são respectivamente: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Destes, apenas 8, 10, 12 são maiores do que \frac{p-1}{2}=6. Portanto, segue o símbolo de Legendre:
(\frac{2}{13})=(-1)^3=-1
Portanto, 2 não é resíduo quadrático módulo 13.
Para a=3 temos que o resto da divisão de a, 2a, 3a, 4a, 5a, e 6a por 13 são 3, 6, 9, 12, 2, 5. Destes, apenas dois são maiores do que 6. Logo:
(\frac{3}{13})=(-1)^2=1
Portanto, 3 é um resíduo quadrático módulo 13.
Um outro resultado que precisa ser mostrado é o Lema de Eisenstein, mas, para isso, é necessário enunciar a seguinte proposição:
p'=\frac{p-1}{2}
\gamma=[\frac{a}{p}]+[\frac{2a}{p}]+...+[\frac{p'a}{p}]
temos que:
(\frac{a}{p})=(-1)^{\gamma}
Onde o símbolo [\frac{a}{p}] é a função maior inteiro maior ou igual a: \frac{a}{p}.
1.3.1 Demonstração:
Assim como fizemos no Lema de Gauss, consideramos r_{1},...,r_{p}, os restos da divisão por p dos números a, 2a,...p.a, respectivamente.
Desta forma temos:
a=p[\frac{a}{p}]+r_{1}
2a=p[\frac{2a}{p}]+r_{2}
...
p'.a=p[\frac{p'.a}{p}]+r_{p'}
Somando membro a membro, obtemos:
\frac{p^{2}-1}{8}=(1+...+p.a)=p\gamma+r_{1}+...+r_{p'}
De modo análogo ao que fizemos na demonstração do Lema de Gauss, também usamos B=b_{1}+...+b_{k}, e C=c_{1}+...+c_{l}, obtendo, portanto:
r_{1}+...+r_{p}=B+C
Logo:
\frac{p^2-1}{8}a=p\gamma+C+B (*)
Entretanto, ainda temos que, \left\{c_{1}, ..., c_{l}, ..., p-b_{1}, ..., p-b_{k}\right\}=\left\{1, …, p' \right\}. Portanto, vemos que:
\frac{p^2-1}{8}=1+...+p=p\gamma-B+C (**)
Subtraindo a equação (**) de (*), obtemos:
\frac{p^2-1}{8}(a-1)=p(\gamma-k)+2B
Observe que a-1 é par, pois a é ímpar, e P é um primo ímpar. Desta forma, o lado esquerdo da igualdade é par. No lado direito, 2B é par, portanto, p(\gamma-k) deve ser par. Logo, decorre da igualdade acima que \gamma e k têm a mesma paridade. E, portanto, segue do lema de Gauss que:
(\frac{a}{p})=(-1)^{k}=(-1)^{\gamma}
concluindo assim a demonstração da proposição.
Solução:
Pela proposição acima, sabe-se que a equação tem solução inteira se, e somente se, 7 é resíduo quadrático módulo 17.
Assim:
\gamma=[\frac{a}{p}]+[\frac{2a}{p}]+...+[\frac{p'.a}{p}]=
= [\frac{7}{17}]+[\frac{14}{17}]+[\frac{21}{17}]+[\frac{28}{17}]+[\frac{35}{17}]+[\frac{42}{17}]+[\frac{49}{17}]+[\frac{56}{17}]=11
Portanto, (\frac{7}{17})=(-1)^{11}=-1
Logo, 7 não é resíduo quadrático módulo 17, e a equação não tem solução nos inteiros.
Finalmente, será enunciado o Lema de Eisenstein, que será provado mais adiante, na 2ª demonstração.
1.5 Lema de Eisenstein
Sejam p e q primos ímpares distintos. Então:
[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+...+[\frac{\frac{p-1}{2}q}{p}]+[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+...+[\frac{\frac{q-1}{2}p}{q}]=(\frac{p-1}{2})(\frac{q-1}{2})
Finalmente, com essas ferramentas em mãos, podemos então demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. Vamos relembrar o enunciado e mostrar o resultado seguinte:
1.6 Lei da Reciprocidade Quadrática:
Sejam p e q primos ímpares distintos. Então:
(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}
1.6.1 Demonstração:
Sejam:
\gamma=[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+...+[\frac{\frac{q-1}{2}p}{q}]
e:
\gamma'=[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+...+[\frac{\frac{p-1}{2}q}{p}]
Vimos que:
(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\gamma}(-1)^{\gamma'}=(-1)^{\gamma+\gamma'}=
=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}
Onde a primeira igualdade é devido ao lema de Gauss e a última igualdade é devido ao lema de Eisenstein.
Solução:
Observe que 31 e 41 são primos. Então, decorre da lei de reciprocidade quadrática que:
(\frac{31}{41})(\frac{41}{31})=(-1)^{15}(-1)^{20}=-1
portanto: (\frac{31}{41})=-(\frac{41}{31}).
Observe que 41\equiv 10 mod\: 31 . Tem-se então que:
(\frac{41}{31})=(\frac{10}{31})=(\frac{2}{31})(\frac{5}{31})=(-1)^{15}(-1)^{2}=-1
Também temos que 31\equiv 1 mod\: 5, e portanto,
(\frac{5}{31})=-(\frac{31}{5})=-1
Da mesma forma, observe que:
(\frac{2}{31})\equiv 2^{15}\equiv 1\: mod\: 31
portanto, (\frac{2}{31})=1, e:
(\frac{31}{41})=-(\frac{41}{31})=-(\frac{10}{3})=-(\frac{2}{31})(\frac{5}{3})=(-1)(-1)=1
Finalmente, temos que 31 é um resíduo quadrático módulo 41.
2. SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO
2.1 Lei de reciprocidade Quadrática
Esta demonstração usa argumentos geométricos e foi apresentada originalmente por Eisenstein.
Considere o Retângulo ABCD de vértices:
A=(0,0), B=(\frac{p}{2},0), C=(\frac{p}{2},\frac{Q}{2}), D=(0,\frac{q}{2})
Marcamos, em seu interior os pontos que pertencem ao produto cartesiano dos conjuntos \left\{1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} \right\} e \left\{1, 2, 3, …, \frac{q-1}{2} \right\}, como apresentados na figura abaixo:
Ao contarmos o número de pontos no interior da figura, podemos concluir que esse número é igual a:
\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}
Considera-se então a equação da reta que passa por A e C, isto é, y=(\frac{q}{p})x. Como os números 1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} são todos primos com p, esta reta não contém nenhum dos pontos de interiores contados acima. Além disso, esta reta intercepta as retas x=k, paralelas ao eixo y, nos pontos (k, \frac{kq}{p}). Tem-se então que \frac{kq}{p} não é um número inteiro, para qualquer k no conjunto \left\{1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} \right\}, e assim, o número de pontos da reta x=k que estão acima do eixo x e abaixo da reta y=(\frac{q}{p})x é
dado por \left \lfloor \frac{kq}{p} \right \rfloor. Logo temos que:
M=\left \lfloor \frac{q}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2q}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3q}{p} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{p-1}{2}\frac{q}{p} \right \rfloor
onde M é o número de pontos no interior do triângulo ABC, da figura acima.
Analogamente, considerando a intersecção das retas y=k, paralelas ao eixo x, com a reta reta y=(\frac{q}{p})x, obtemos o número:
N=\left \lfloor \frac{p}{q} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2p}{q} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3p}{q} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{q-1}{2}\frac{p}{q} \right \rfloor
onde N é o número de pontos no interior do triângulo ACD, da figura acima.
Portanto, temos que a seguinte igualdade, que é lema de Eisenstein, enunciado anteriormente:
M+N=\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}
Mas como já foi mostrado, pela Proposição no item 1.3, temos que:
(\frac{q}{p})=(-1)^M
e também:
(\frac{p}{q})=(-1)^N
Isso implica o resultado esperado, a lei de reciprocidade quadrática:
(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{M+N}=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}
3. TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO
A seguinte demonstração é devida a Gauss, e antes de demonstrar, comecemos apresentando algumas ferramentas que precisaremos utilizar, além das que foram mostradas anteriormente.
3.1 Definição (resto principal):
Para um número m>1 e um número inteiro a, o Resto Principal de a módulo m é o único inteiro, denotado r_{m}(a), no intervalo semiaberto e semifechado (\frac{-m}{2}, \frac{m}{2}], tal que a\equiv r_{m}(a) mod\: m.
Para cada número s no conjunto U=\left\{1, 2, 3, …,\frac{p-1}{2} \right\}, com p primo ímpar e a um inteiro, considera-se os restos principais r_{p}(as). Se |r_{p}(as)| é o valor absoluto de r_{p}(as) e então definimos e_{s}(a) para que a seguinte congruência seja válida:
as\equiv e_{s}(a)|r_{p}(as)|(mod\: p)
De forma que, e_{s}=1, se r_{p}>0. E e_{s}(a)=1, se r_{p}(as)<0.
3.2 Lema Trigonométrico de Tchebycheff
Seja m um número ímpar, então:
\frac{sen(mu)}{sen(u)}=(-4)^{\frac{m-1}{2}}\prod_{j=1}^{\frac{m-1}{2}}(sen^{2}(u)-sen^{2}(\frac{2\pi j}{m}))
Além disso vamos precisar de mais uma proposição para seguir com a Demonstração do teorema de reciprocidade quadrática. A demonstração deste Lema pode ser encontrada no livro Introdução à Teoria dos Números, página 195, do professor dr. Shokranian (vide a seção de referências).
(\frac{a}{p})=\prod_{s\in U}e_{s}(a)
E essa informação decorre diretamente do lema de Gauss, já apresentado, pois temos que:
\prod_{s \in U}e_{s}(a)=(-1)^{k}=(\frac{a}{p})
Tendo isso em mãos, vamos apresentar novamente a demonstração do Teorema de Reciprocidade Quadrática:
3.4 Lei de Reciprocidade Quadrática:
Sejam P e q primos ímpares distintos. Então:
(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}
3.4.1 Demonstração:
Pelo Lema 3 vale a seguinte igualdade: \frac{q}{p}=\prod_{s\in U}e_{s}(a).
Mas, se qs\equiv e_{s}(q)|r_{p}(qs)|(mod p), então conclui-se que existe um número inteiro t tal que, qs=e_{s}(q)|r_{p}(qs)|+tp. Assim, temos:
sen(\frac{2\pi}{p}qs)=sen(e_{s}(q)|r_{p}(qs)|+tp)=
= sen(e_{s}(q)\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|+2\pi t)=
=sen(e_{s}(q)\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)=
E como e_{s}(q)=\pm 1, a expressão acima fica assim:
e_{s}(q)sen(\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)
Finalmente, reescrevemos a igualdade da seguinte forma:
(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}\frac{sen(\frac{2\pi}{p}qs)}{sen(\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)}
Por outro lado, podemos reescrever o conjunto U como: U=\left\{|r_{1}|, |r_{2}|, …, |r_{\frac{p-1}{2}}| \right\}, pois a definição do resto principal implica que A=\left\{|r_{1}|, |r_{2}|, …, |r_{\frac{p-1}{2}}| \right\} está contido em U. Além disso, no conjunto de \frac{p-1}{2}, nenhum dos elementos são iguais, portanto este conjunto é igual a U. Desta maneira, reescrevemos U como:
\left\{1,2,3,...,\frac{p-1}{2} \right\}=\left\{|r_{p}(1q)|, |r_{p}(2q)|, …, |r_{p}(\frac{p-1}{2}q)| \right\}
Logo obtemos:
(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}\frac{sen(\frac{2\pi}{p}qs)}{sen(\frac{2\pi}{p}s)}
Usando o Lema trigonométrico para m=q e x=\frac{2\pi s}{p}, obtemos:
(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}(-4)^{\frac{p-1}{2}}=\prod_{t=1}^{\frac{q-1}{2}}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{p})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{q}))=
=(-4)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\prod_{s\in U}\prod_{t\in T}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{p})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{q}))
Pois a cardinalidade de U é card(U)=\frac{p-1}{q}, e considerado que T=\left\{1,2,3,...,\frac{q-1}{2} \right\}. Repetindo o mesmo procedimento para \frac{p}{q}, e, conservando as definições dos conjuntos U e T, teremos:
(\frac{p}{q})=\prod_{s\in U}(-4)^{\frac{q-1}{2}}=\prod_{s=1}^{\frac{p-1}{2}}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{q})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{p}))=
=(-4)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\prod_{s\in U}\prod_{t\in T}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{q})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{p}))
Sendo assim, ao compararmos os resultados acima obtemos:
(\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}
E de fato, essa equação equivale ao enunciado da lei de reciprocidade quadrática:
(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}
Pois os símbolos de Legendre assumem valores +1 e -1.
Com isso finalizamos a demonstração.
REFERÊNCIAS:
SANTOS, J. P. de O. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro, IMPA, 2010
SHOKRANIAN, S. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
SHOKRANIAN, S. Tópicos em Métodos Computacionais. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009.
JÚNIOR, Carlos Humberto Soares. Aritmética: Lei de Reciprocidade Quadrática, disponível em: PROFMAT. SBM. Disponível em: http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA14/Unidades/unidade22.pdf. Acessado em Junho de 2016.
Lei de Reciprocidade Quadrática. disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/LRQ_Roberta.pdf> Acesso em Junho de 2016.
Quer citar este artigo no seu tabalho? Você pode usar a seguinte referência:
CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Três Demonstrações do Teorema de Reciprocidade Quadrática. Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, abr. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/04/tresdemonstracoes-do-teorema-de.html. Acessado em________:
Comentários
Postar um comentário