TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA

As maneiras de decidir se um dado $a$ é quadrado módulo $m$ é um estudo muito importante em teoria dos números. Grandes matemáticos contribuíram para desenvolver o resultado principal sobre reciprocidade quadrática, cujo objetivo é decidir quando uma equação do tipo $x^{2}\equiv a(mod\: m)$ tem solução módulo $m$.

Existem mais de 250 maneiras de demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. O objetivo deste trabalho é apresentar 3 demonstrações elementares desse teorema.

Vamos primeiramente enunciar a Lei de reciprocidade quadrática e depois apresentar as demonstrações juntamente com as ferramentas necessárias para as tais demonstrações:

LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA

Sejam $P$ e $q$ primos ímpares distintos. Então:

$$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$

1. PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO

Nesta primeira parte, para demonstrar o Teorema será apresentado três ferramentas que serão usadas na demonstração.

1.1 Lema de Gauss

Sejam $a$ e $p$ números naturais, e $p$ é um primo tal que $(a,p=1)$. E sejam $r_{1}, …,r_{\frac{p-1}{2}}$, os restos da divisão por $p$ dos números $a, 2a, …, \frac{p-1}{2}a$, respectivamente. Se $k$ é a quantidade dos $r_{i}$ que são maiores que $\frac{p-1}{2}$, então:

$$(\frac{a}{p})=(-1)^{k}$$

onde $(\frac{a}{p})$ é o símbolo de Legendre.

1.1.1 Demonstração do Lema de Gauss:

Para demonstrar esse lema, inicialmente será observado o seguinte:

Como $a$ é relativamente primo com $p$, então $a, 2a, …, \frac{p-1}{2}$ é incongruente módulo $p$, e isso implica que os restos $r_{1}, … ,r_{\frac{p-1}{2}}$ das suas divisões por $p$ são distintos. Pois $1\leq r_{i}\leq p-1$.
Será considerado agora o conjunto desses restos $\left\{r_{1}, …, r_{\frac{p-1}{2}} \right\}$ e será dividido em duas partes: O primeiro subconjunto será $\left\{ b_{1}, ... , b_{k} \right\}$ formado pelos elementos maiores do que $\frac{p-1}{2}$. O segundo subconjunto será $\left\{ c_{1}, ... , c_{l} \right\}$, que é formado pelos elementos menores ou iguais a $\frac{p-1}{2}$. Observando que, neste caso, $k+l=\frac{p-1}{2}$.
Observe ainda que: $p-b_{1}, …, p-b_{k}$ são distintos entre si, e menores que $\frac{p-1}{2}$. Além disso, esses números são distintos de $\left\{ c_{1}, ... , c_{l} \right\}$, pois se $p-b_{i}$ fosse igual a algum $c_{j}$ ter-se-ia $b_{i}\equiv c_{j}(mod\: p)$, o que não ocorre, pois a união dos $b_{i}$ com $c_{j}$ são os restos, que são incongruentes modulo $p$.
Como $k+l=\frac{p-1}{2}$, tem-se que:

$$\left\{p-b_{1}, … , p-b_{k} \right\}\cup \left\{p-c_{1}, ... , p-c_{l} \right\}=\left\{ 1, 2, … , \frac{p-l}{2} \right\}$$

Assim, pode-se concluir que o produto:

$$c_{1}...c_{l}(p-b_{1})...(p-b_{k})=(\frac{p-1}{2})! (*)$$

Por outro lado, para cada $i\in \left\{1, 2, …, \frac{p-1}{2} \right\}$, temos que $a_{i}=pq_{i}+r_{i}$, segue que, multiplicando essas equações, tem-se que o produto dos $r_{i}$ será igual a um múltiplo de $p$ vezes o produto dos $a_{i}$, ou seja:

$$r_{1}.r_{2}...r_{\frac{p-1}{2}}=A.p+(a)(2a)...(\frac{p-1}{2}a)$$

Isso deve ser igual a:

$$A.p+a^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-1}{2})!$$

Conclui-se que:

$$b_{1}...b_{k}.c_{1}...c_{l}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-1}{2})!(mod\: p) (**)$$

Das duas identidades acima, $(*)$ e $(**)$, podemos ver que:

$$b_{1}...b_{k}.c_{1}...c_{l}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(p-b_{1})...(p-b_{k})c_{1}...c_{l}(mod\: p)$$

Observando que $c_{1}...c_{l}$ são primos com $p$. Portanto, por cancelamento, temos:

$$b_{1}...b_{k}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(p-b_{1})...(p-b_{k})(mod\: p)$$

Como $(p, p-b_{i})=1$, para cada $i$ existe $d_{i}$ tal que:

$$d_{i}(p-b_{i})\equiv 1(mod\: p)$$

Multiplicando a expressão acima pelo produto dos $d_{i}$ temos:

$$d_{1}...d_{k}...b_{1}...b_{k}\equiv -1 mod\: p$$

Note que, $d_{i}.b_{i}\equiv -1 mod\: p$, portanto:

$$d_{1}...d_{k}...b_{1}...b_{k}\equiv \left\{\begin{matrix} 1\: se\: k\: for\: par \\ -1\: se\: k\: for\: ímpar \end{matrix}\right.$$

Finalmente, obtemos:

$$(-1)^{k}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{a}{p}) mod\: p$$

onde, $(\frac{a}{p})$ é o símbolo de Legendre.

1.2 Exemplo: Verificar se $2$ e $3$ são resíduos quadráticos módulo $13$.

Solução:

Para $a=2$, temos que os restos da divisão de $a, 2a , 3a, 4a, 5a, 6a$ por $13$ são respectivamente: $2, 4, 6, 8, 10, 12$. Destes, apenas $8, 10, 12$ são maiores do que $\frac{p-1}{2}=6$. Portanto, segue o símbolo de Legendre:

$$(\frac{2}{13})=(-1)^3=-1$$

Portanto, $2$ não é resíduo quadrático módulo $13$.

Para $a=3$ temos que o resto da divisão de $a, 2a, 3a, 4a, 5a, e 6a$ por $13$ são $3, 6, 9, 12, 2, 5$. Destes, apenas dois são maiores do que $6$. Logo:

$$(\frac{3}{13})=(-1)^2=1$$

Portanto, $3$ é um resíduo quadrático módulo $13$.

Um outro resultado que precisa ser mostrado é o Lema de Eisenstein, mas, para isso, é necessário enunciar a seguinte proposição:

1.3 Proposição: Sejam $a$ e $p$ números naturais, e $p$ é um primo tal que: $(a,p)=1$. E seja $p'$ e $\gamma$ tal que:

$$p'=\frac{p-1}{2}$$

$$\gamma=[\frac{a}{p}]+[\frac{2a}{p}]+...+[\frac{p'a}{p}]$$

temos que:

$$(\frac{a}{p})=(-1)^{\gamma}$$

Onde o símbolo $[\frac{a}{p}]$ é a função maior inteiro maior ou igual a: $\frac{a}{p}$.

1.3.1 Demonstração:

Assim como fizemos no Lema de Gauss, consideramos $r_{1},...,r_{p}$, os restos da divisão por $p$ dos números $a, 2a,...p.a$, respectivamente.

Desta forma temos:

$$a=p[\frac{a}{p}]+r_{1}$$

$$2a=p[\frac{2a}{p}]+r_{2}$$

$$...$$

$$p'.a=p[\frac{p'.a}{p}]+r_{p'}$$

Somando membro a membro, obtemos:

$$\frac{p^{2}-1}{8}=(1+...+p.a)=p\gamma+r_{1}+...+r_{p'}$$

De modo análogo ao que fizemos na demonstração do Lema de Gauss, também usamos $B=b_{1}+...+b_{k}$, e $C=c_{1}+...+c_{l}$, obtendo, portanto:

$$r_{1}+...+r_{p}=B+C$$

Logo:

$$\frac{p^2-1}{8}a=p\gamma+C+B (*)$$

Entretanto, ainda temos que, $\left\{c_{1}, ..., c_{l}, ..., p-b_{1}, ..., p-b_{k}\right\}=\left\{1, …, p' \right\}$. Portanto, vemos que:

$$\frac{p^2-1}{8}=1+...+p=p\gamma-B+C (**)$$

Subtraindo a equação $(**)$ de $(*)$, obtemos:

$$\frac{p^2-1}{8}(a-1)=p(\gamma-k)+2B$$

Observe que $a-1$ é par, pois $a$ é ímpar, e $P$ é um primo ímpar. Desta forma, o lado esquerdo da igualdade é par. No lado direito, $2B$ é par, portanto, $p(\gamma-k)$ deve ser par. Logo, decorre da igualdade acima que $\gamma$ e $k$ têm a mesma paridade. E, portanto, segue do lema de Gauss que:

$$(\frac{a}{p})=(-1)^{k}=(-1)^{\gamma}$$

concluindo assim a demonstração da proposição.

1.4 Exemplo: Verificar se $x^{2}+17y=7$ tem solução inteira.

Solução:

Pela proposição acima, sabe-se que a equação tem solução inteira se, e somente se, $7$ é resíduo quadrático módulo $17$.

Assim:

$$\gamma=[\frac{a}{p}]+[\frac{2a}{p}]+...+[\frac{p'.a}{p}]=$$

$$= [\frac{7}{17}]+[\frac{14}{17}]+[\frac{21}{17}]+[\frac{28}{17}]+[\frac{35}{17}]+[\frac{42}{17}]+[\frac{49}{17}]+[\frac{56}{17}]=11$$

Portanto, $(\frac{7}{17})=(-1)^{11}=-1$

Logo, $7$ não é resíduo quadrático módulo $17$, e a equação não tem solução nos inteiros.

Finalmente, será enunciado o Lema de Eisenstein, que será provado mais adiante, na 2ª demonstração.

1.5 Lema de Eisenstein

Sejam $p$ e $q$ primos ímpares distintos. Então:

$$[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+...+[\frac{\frac{p-1}{2}q}{p}]+[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+...+[\frac{\frac{q-1}{2}p}{q}]=(\frac{p-1}{2})(\frac{q-1}{2})$$

Finalmente, com essas ferramentas em mãos, podemos então demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. Vamos relembrar o enunciado e mostrar o resultado seguinte:

1.6 Lei da Reciprocidade Quadrática:

Sejam $p$ e $q$ primos ímpares distintos. Então:

$$(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$

1.6.1 Demonstração:

Sejam:

$$\gamma=[\frac{p}{q}]+[\frac{2p}{q}]+...+[\frac{\frac{q-1}{2}p}{q}]$$

$$\gamma'=[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+...+[\frac{\frac{p-1}{2}q}{p}]$$

Vimos que:

$$(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\gamma}(-1)^{\gamma'}=(-1)^{\gamma+\gamma'}=$$

$$=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$

Onde a primeira igualdade é devido ao lema de Gauss e a última igualdade é devido ao lema de Eisenstein.

1.7 Exemplo: Verificar se $31$ é um resíduo quadrático módulo $41$.

Solução:

Observe que $31$ e $41$ são primos. Então, decorre da lei de reciprocidade quadrática que:

$$(\frac{31}{41})(\frac{41}{31})=(-1)^{15}(-1)^{20}=-1$$

portanto: $(\frac{31}{41})=-(\frac{41}{31})$.

Observe que $41\equiv 10 mod\: 31$ . Tem-se então que:

$$(\frac{41}{31})=(\frac{10}{31})=(\frac{2}{31})(\frac{5}{31})=(-1)^{15}(-1)^{2}=-1$$

Também temos que $31\equiv 1 mod\: 5$, e portanto,

$$(\frac{5}{31})=-(\frac{31}{5})=-1$$

Da mesma forma, observe que:

$$(\frac{2}{31})\equiv 2^{15}\equiv 1\: mod\: 31$$

portanto, $(\frac{2}{31})=1$, e:

$$(\frac{31}{41})=-(\frac{41}{31})=-(\frac{10}{3})=-(\frac{2}{31})(\frac{5}{3})=(-1)(-1)=1$$

Finalmente, temos que $31$ é um resíduo quadrático módulo $41$.

2. SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO

2.1 Lei de reciprocidade Quadrática

Esta demonstração usa argumentos geométricos e foi apresentada originalmente por Eisenstein.

Considere o Retângulo $ABCD$ de vértices:

$$A=(0,0), B=(\frac{p}{2},0), C=(\frac{p}{2},\frac{Q}{2}), D=(0,\frac{q}{2})$$

Marcamos, em seu interior os pontos que pertencem ao produto cartesiano dos conjuntos $\left\{1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} \right\}$ e $\left\{1, 2, 3, …, \frac{q-1}{2} \right\}$, como apresentados na figura abaixo:

Ao contarmos o número de pontos no interior da figura, podemos concluir que esse número é igual a:

$$\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}$$

Considera-se então a equação da reta que passa por $A$ e $C$, isto é, $y=(\frac{q}{p})x$. Como os números $1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2}$ são todos primos com $p$, esta reta não contém nenhum dos pontos de interiores contados acima. Além disso, esta reta intercepta as retas $x=k$, paralelas ao eixo $y$, nos pontos $(k, \frac{kq}{p})$. Tem-se então que $\frac{kq}{p}$ não é um número inteiro, para qualquer $k$ no conjunto $\left\{1, 2, 3, …, \frac{p-1}{2} \right\}$, e assim, o número de pontos da reta $x=k$ que estão acima do eixo $x$ e abaixo da reta $y=(\frac{q}{p})x$ é

dado por $\left \lfloor \frac{kq}{p} \right \rfloor$. Logo temos que:

$$M=\left \lfloor \frac{q}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2q}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3q}{p} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{p-1}{2}\frac{q}{p} \right \rfloor$$

onde $M$ é o número de pontos no interior do triângulo $ABC$, da figura acima.

Analogamente, considerando a intersecção das retas $y=k$, paralelas ao eixo $x$, com a reta reta $y=(\frac{q}{p})x$, obtemos o número:

$$N=\left \lfloor \frac{p}{q} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2p}{q} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3p}{q} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{q-1}{2}\frac{p}{q} \right \rfloor$$

onde $N$ é o número de pontos no interior do triângulo $ACD$, da figura acima.

Portanto, temos que a seguinte igualdade, que é lema de Eisenstein, enunciado anteriormente:

$M+N=\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}$

Mas como já foi mostrado, pela Proposição no item 1.3, temos que:

$$(\frac{q}{p})=(-1)^M$$

e também:

$$(\frac{p}{q})=(-1)^N$$

Isso implica o resultado esperado, a lei de reciprocidade quadrática:

$$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{M+N}=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}$$

3. TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO

A seguinte demonstração é devida a Gauss, e antes de demonstrar, comecemos apresentando algumas ferramentas que precisaremos utilizar, além das que foram mostradas anteriormente.

3.1 Definição (resto principal):

Para um número $m>1$ e um número inteiro $a$, o Resto Principal de $a$ módulo $m$ é o único inteiro, denotado $r_{m}(a)$, no intervalo semiaberto e semifechado $(\frac{-m}{2}, \frac{m}{2}]$, tal que $a\equiv r_{m}(a) mod\: m$.

Para cada número $s$ no conjunto $U=\left\{1, 2, 3, …,\frac{p-1}{2} \right\}$, com $p$ primo ímpar e $a$ um inteiro, considera-se os restos principais $r_{p}(as)$. Se $|r_{p}(as)|$ é o valor absoluto de $r_{p}(as)$ e então definimos $e_{s}(a)$ para que a seguinte congruência seja válida:

$$as\equiv e_{s}(a)|r_{p}(as)|(mod\: p)$$

De forma que, $e_{s}=1$, se $r_{p}>0$. E $e_{s}(a)=1$, se $r_{p}(as)<0$.

3.2 Lema Trigonométrico de Tchebycheff

Seja m um número ímpar, então:

$$\frac{sen(mu)}{sen(u)}=(-4)^{\frac{m-1}{2}}\prod_{j=1}^{\frac{m-1}{2}}(sen^{2}(u)-sen^{2}(\frac{2\pi j}{m}))$$

Além disso vamos precisar de mais uma proposição para seguir com a Demonstração do teorema de reciprocidade quadrática. A demonstração deste Lema pode ser encontrada no livro Introdução à Teoria dos Números, página 195, do professor dr. Shokranian (vide a seção de referências).

3.3 Proposiçã: Vale a igualdade:

$$(\frac{a}{p})=\prod_{s\in U}e_{s}(a)$$

E essa informação decorre diretamente do lema de Gauss, já apresentado, pois temos que:

$$\prod_{s \in U}e_{s}(a)=(-1)^{k}=(\frac{a}{p})$$

Tendo isso em mãos, vamos apresentar novamente a demonstração do Teorema de Reciprocidade Quadrática:

3.4 Lei de Reciprocidade Quadrática:

Sejam $P$ e $q$ primos ímpares distintos. Então:

$$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$

3.4.1 Demonstração:

Pelo Lema 3 vale a seguinte igualdade: $\frac{q}{p}=\prod_{s\in U}e_{s}(a)$.

Mas, se $qs\equiv e_{s}(q)|r_{p}(qs)|(mod p)$, então conclui-se que existe um número inteiro $t$ tal que, $qs=e_{s}(q)|r_{p}(qs)|+tp$. Assim, temos:

$$sen(\frac{2\pi}{p}qs)=sen(e_{s}(q)|r_{p}(qs)|+tp)=$$

$$= sen(e_{s}(q)\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|+2\pi t)=$$

$$=sen(e_{s}(q)\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)=$$

E como $e_{s}(q)=\pm 1$, a expressão acima fica assim:

$$e_{s}(q)sen(\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)$$

Finalmente, reescrevemos a igualdade da seguinte forma:

$$(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}\frac{sen(\frac{2\pi}{p}qs)}{sen(\frac{2\pi}{p}|r_{p}(qs)|)}$$

Por outro lado, podemos reescrever o conjunto $U$ como: $U=\left\{|r_{1}|, |r_{2}|, …, |r_{\frac{p-1}{2}}| \right\}$, pois a definição do resto principal implica que $A=\left\{|r_{1}|, |r_{2}|, …, |r_{\frac{p-1}{2}}| \right\}$ está contido em $U$. Além disso, no conjunto de $\frac{p-1}{2}$, nenhum dos elementos são iguais, portanto este conjunto é igual a $U$. Desta maneira, reescrevemos $U$ como:

$$\left\{1,2,3,...,\frac{p-1}{2} \right\}=\left\{|r_{p}(1q)|, |r_{p}(2q)|, …, |r_{p}(\frac{p-1}{2}q)| \right\}$$

Logo obtemos:

$$(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}\frac{sen(\frac{2\pi}{p}qs)}{sen(\frac{2\pi}{p}s)}$$

Usando o Lema trigonométrico para $m=q$ e $x=\frac{2\pi s}{p}$, obtemos:

$$(\frac{q}{p})=\prod_{s\in U}(-4)^{\frac{p-1}{2}}=\prod_{t=1}^{\frac{q-1}{2}}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{p})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{q}))=$$

$$=(-4)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\prod_{s\in U}\prod_{t\in T}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{p})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{q}))$$

Pois a cardinalidade de $U$ é $card(U)=\frac{p-1}{q}$, e considerado que $T=\left\{1,2,3,...,\frac{q-1}{2} \right\}$. Repetindo o mesmo procedimento para $\frac{p}{q}$, e, conservando as definições dos conjuntos $U$ e $T$, teremos:

$$(\frac{p}{q})=\prod_{s\in U}(-4)^{\frac{q-1}{2}}=\prod_{s=1}^{\frac{p-1}{2}}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{q})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{p}))=$$

$$=(-4)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}\prod_{s\in U}\prod_{t\in T}(sen^{2}(\frac{2\pi s}{q})-sen^{2}(\frac{2\pi t}{p}))$$

Sendo assim, ao compararmos os resultados acima obtemos:

$$(\frac{p}{q})=(\frac{q}{p})(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}$$

E de fato, essa equação equivale ao enunciado da lei de reciprocidade quadrática:

$$(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{q-1}{2}}$$

Pois os símbolos de Legendre assumem valores $+1$ e $-1$.

Com isso finalizamos a demonstração.

REFERÊNCIAS:

SANTOS, J. P. de O. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro, IMPA, 2010
SHOKRANIAN, S. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
SHOKRANIAN, S. Tópicos em Métodos Computacionais. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009.
JÚNIOR, Carlos Humberto Soares. Aritmética: Lei de Reciprocidade Quadrática, disponível em: PROFMAT. SBM. Disponível em: http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA14/Unidades/unidade22.pdf. Acessado em Junho de 2016.
Lei de Reciprocidade Quadrática. disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/LRQ_Roberta.pdf> Acesso em Junho de 2016.

Quer citar este artigo no seu tabalho? Você pode usar a seguinte referência:

CASTRO, Mendelssohn Aguiar de Lima. Três Demonstrações do Teorema de Reciprocidade Quadrática. Blog Matdriver: Matemática e Tecnologia. Brasília, abr. 2021. Disponível em: https://matdriver.blogspot.com/2021/04/tresdemonstracoes-do-teorema-de.html. Acessado em________:

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