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 Derivada de cos(x)^{sen(x)}

Calcule: \frac{d}{dx}(cos(x)^{sen(x)}) 

Solução:
 
Usando as propriedades da função exponencial e sua inversa, considere que:
a^{b}=e^{log(a^b)}=e^{b \cdot log(a)}

Podemos usar essa propriedade da seguinte forma:
cos(x)^{sen(x)}=e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}

Portanto:
 
\frac{d}{dx}(cos(x)^{sen(x)})=\frac{d}{dx}e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}
 
Usando a regra da cadeia, obtemos:
 
 
\frac{d}{dx}e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}=e^{sen(x)\cdot log(cos(x))} \cdot \left(cos(x)\cdot log(x)-sen(x)\cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}\right)
 
Simplificando:
 

\frac{d}{dx}(cos(x)^{sen(x)})=cox(x)^{sen(x)}\cdot \left( cos(x)\cdot log(x)-tg(x)\cdot sen(x)\right)


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