Exercícios: Limites infinitos, no infinito e assíntotas

RESUMO DO CONTEÚDO:

 

ASSÍNTOTAS VERTICAIS:

Quando temos os limites:

  • $$\displaystyle \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\infty$$
  • $$\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\pm\infty$$

temos que $x=a$ é assíntota vertical .


ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS:

Quando temos os limites:

$$\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)=b$$

temos que $y=b$ é uma assíntota horizontal.

Assim, quando testamos os limites no infinito estamos procurando por assíntoras horizontais. Quando testamos os limites nos pontos de indeterminação, estamos procurando as assíntotas vertucais.

 

ASSÍNTOTAS OBLÍQUAS 

Dado $f(x)=ax+b$, tem-se as assíntotas oblíquas:

$$a=\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}$$

e

$$b=\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)-x$$

 

EXERCÍCIOS:

1. Calcule os limites abaixo:

a) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x+3}$

Resposta:

multiplique todas as parcelas por $\frac{1}{x}$ e rearranje:

$$\frac{\sqrt{x}+1}{x+3}=\frac{\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{3}{x}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}$$

Agora tome o limite:

$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x+3}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{0}{1}=0$$

 

b) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x-\sqrt{3x^2+2}$ 

Resposta:

coloque $x$ em evidência e rearranje:

$$x-\sqrt{3x^2+2}=x(1-\frac{3x^2+2}{x})=x(1-\sqrt{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{2}{x^2}})=x(1-\sqrt{3+\frac{2}{x^2}})$$

Tome o limite:

$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x+3}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x(1-\sqrt{3+\frac{2}{x^2}})=\infty(1-\sqrt{3})=-\infty$$


c) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x-\sqrt[3]{\frac{x}{x^2+3}}$

Resposta:

Multiplique e divida $\frac{1}{x^2}$ dentro da raiz:

$$x-\sqrt[3]{\frac{x}{x^2+3}}=x-\sqrt[3]{\frac{\frac{x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3}{x^2}}}=x-\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}}$$

Tome o limite:

 $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x-\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}}=\infty-0=\infty$$

 

d) $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2x+1}{x^2+x}$

Resposta:

Considere que $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2x+1}{x^2+x}=\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}2x+1\cdot \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x(x+1)}=1\cdot \infty=\infty$


e) $\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2}^{+}}\frac{3x+1}{4x^2-1}$

Resposta:

Considere que $\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2}^{+}}\frac{3x+1}{4x^{2}-1}=\displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2}^{+}}3x+1 \cdot \displaystyle \lim_{x\to \frac{1}{2}^{+}}\frac{1}{4x^{2}-1}=\frac{5}{2}\cdot \infty=\infty$

 


2. Utilize limites para determinas as assintotas verticais e horizontais, quando houver:

a) $y=\frac{x^2+4}{x-3}$

Resposta:

Calcule os quatro limites:

Assíntotas horizontais:

$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+4}{x-3}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x+\frac{4}{x}}{1-\frac{3}{x}}=+\infty$$

$$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2+4}{x-3}=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x+\frac{4}{x}}{1-\frac{3}{x}}=-\infty$$

Assíntotas verticais:

$$\displaystyle \lim_{x\to 3^{+}}\frac{x^2+4}{x-3}=\infty$$

$$\displaystyle \lim_{x\to 3^{-}}\frac{x^2+4}{x-3}=-\infty$$ 

 


 

b) $f(x)=\frac{1-x^2}{x^2+1}$

Como não há pontos de indeterminação, não há assíntotas verticais.

As assíntotas horizontais são dadas pelos limites:

$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1-x^2}{x^2+1}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x^2}}=-1$$

$$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1-x^2}{x^2+1}=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{1}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x^2}}=-1$$

 


 


3. Determine todas as possíveis assíntotas oblíquas das funções abaixo:

a) $y=\sqrt{x^2+1}$

Resposta:

$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty$$

$$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+1}=-\infty$$ 

Como não há pontos de indeterminação, não há assíntotas verticais. E como os limites no infinito divergem, também não há assíntotas horizontais.

Vamos procurar as assíntotas oblíquas:

  • $$a=\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}$$
  • $$b=\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)-x$$

 

b) $y=\frac{2x^{3/2}+2x-3}{\sqrt{x}+1}$

 


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