MATDRIVER

(Quadrix - 2018 - SEDF - Professor Substituto - Matemática)  Considerando que as equações acima descrevem cônicas no plano, julgue o item a seguir.  $$x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6$$ $$x^2  + xy + y^2  = 3$$ 1. A  primeira  equação  descreve  uma  circunferência  de centro no ponto $(–3, 1)$ e raio $4.$ Solução: Seja $(x-x_{0})+(y-y_{0})=r^2$ a equação da circunferência, então temos a seguinte equação: $$(x+3)^2+(y-1)^2=2^2$$ Desenvolvendo a expressão obtemos: $$x^2+6x+y^2-2y=-6$$ Portanto, o gabarito da questão é falso.  2. A cônica descrita pela primeira equação intercepta a reta $y = –x + 4$ em exatamente um ponto. Solução:  Se substituirmos $y=-x+4$ na expressão  $x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6$, obtemos o seguinte: $$x^2-6x+(-x+4)^2+2(-x+4)+6=0$$ Desenvolvendo a expressão: $$2x^2-16x+30=0$$ Sabemos que $\Delta =16^2-4.2.30=16$. Portanto, como $\Delta >0$ temos que a reta $y = –x + 4$ int...

CALCULE A INTEGRAL: $$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx$$ Solução: reescreva a função da seguinta maneira: $$ \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}=\frac{x+1}{x(x^2-5x+6)}$$ Usando Báskara, temos que $x_{1}=2$ e $x_{2}=3$. Então a expressão acima fica: $$\frac{x+1}{x(x-3)(x-2)}$$ Para utilizar a técnica de integração por frações parciais precisamos encontrar $A_{1}, A_{2}$ e $A_{3}$, tal que: $$\frac{x+1}{x(x-2)(x-3)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)}$$ Multiplicando ambos os lados da expressão por $x(x-2)(x-3)$ obtemos: $$x+1=A_{1}(x^2-5x+6)+A_{2}(x^2-2x)+A_{3}(x^2-3x)$$ Reescrevendo a expressão de forma a evidenciar as variáveis $x^2,x$ e a constante, tem-se: $$x+1=x^{2}(A_{1}+A_{2}+A_{3})+x(-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3})+6A_{1}$$  Daí, comparamos os coeficientes do lado direito com os do lado esquerdo e obtemos o seguinte sistema: $$\left\{\begin{matrix}A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\\-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3}\\ 6A_{1}=1 \end{matrix}\right.$$ Portanto, temos que: $$A_{1}=\frac{1}{6}$$ $$A_{2}=\f...

TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA As maneiras de decidir se um dado $a$ é quadrado módulo $m$ é um estudo muito importante em teoria dos números. Grandes matemáticos contribuíram para desenvolver o resultado principal sobre reciprocidade quadrática, cujo objetivo é decidir quando uma equação do tipo $x^{2}\equiv a(mod\: m)$ tem solução módulo $m$. Existem mais de 250 maneiras de demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. O objetivo deste trabalho é apresentar 3 demonstrações elementares desse teorema. Vamos primeiramente enunciar a Lei de reciprocidade quadrática e depois apresentar as demonstrações juntamente com as ferramentas necessárias para as tais demonstrações: LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA Sejam $P$ e $q$ primos ímpares distintos. Então: $$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$ 1. PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO Nesta primeira parte, para demonstrar o Teorema será apresentado três ferr...

Autovalor Dominante Método de Potenciação Devido a vasta aplicação de matrizes em vários campos da matemática, consideramos a importância do estudo dos métodos computacionais para determinar os autovalores e autovetores de matrizes. Em particular, exploraremos o método de potenciação, que é um procedimento iterativo para produzir uma sequência de escalares que converge para o autovalor da matriz. 1. AUTO VALOR E AUTO VETOR DE UMA MATRIZ Os autovalores de uma matriz $A$ são precisamente as soluções $\lambda$ da equação: $$det(A-\lambda I)$$ Quando desenvolvemos essa equação, obtemos um polinômio em $\lambda$, chamado polinômio característico, de $A$ . Por exemplo, se $\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ , seu polinômio característico é: $$det(A- \lambda I)=\begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{bmatrix}=$$ $$=(a-\lambda)(b-\lambda)-bc=$$ $$=\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc)$$   Dessa forma, se a matriz for $n\times n$...