MATDRIVER

1. (Quadrix - 2022 - SEDF) Julgue o seguinte item: $\log_3(2) \cdot \log_4(3) \cdot \dots \cdot \log_{2021}(2020) \cdot \log_{2022}(2021) = \frac{1}{\log_2(2022)}$ Mostrar Resposta CERTO! Usando a mudança de base: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$ Escolhendo uma base $k$ qualquer, e cortando os termos semelhantes, temos: $$\frac{\log_k(2)}{\log_k(3)} \cdot \frac{\log_k(3)}{\log_k(4)} \cdot \dots \cdot \frac{\log_k(2020)}{\log_k(2021)} \cdot \frac{\log_k(2021)}{\log_k(2022)}=\frac{\log_k(2)}{\log_k(2022)}$$ A partir daqui, vemos que é apropriado escolher $k=2$ para a base: $$\frac{\log_2(2)}{\log_2(2022)}=\frac{1}{\log_2(2022)}$$ 2. Dados $\log_{10}(2), \quad \log_{10}(2^x - 1), \quad \log_{10}(2^x + 3) $ para $x>0$, são três números consecutivos de uma progressão aritmética. Encontre o valor de $x$: Mostrar Resposta Lembrando que se $a_1, \; a_2, \; a_3$, é uma progressão aritmética, então $a_2 - a_1 = a_3 - a_2 $, sendo assim, escrevemos: $$\log_{10}(2^x - 1) - \...

(Quadrix - 2022 - SEDF - Professor Substituto - Matemática) Se os lados de um triângulo ABC, inscritos em uma circunferência de raio R, medem a, b e c, então a lei dos senos estabelece o seguinte. $$ \frac{a}{\sin \hat A} = \frac{b}{\sin \hat B} = \frac{c}{\sin \hat C} = 2R $$ Considerando essas informações, julgue os itens: Pergunta 1:  $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B}$ Mostrar Resposta CERTO! Utilizando a Lei dos Senos: $$ a = 2R \cdot \sin \hat{C} $$ $$ b = 2R \cdot \sin \hat{B} $$ Substituindo na expressão: $\frac{a + b}{a - b}$ obtemos: \[ \frac{a + b}{a - b} = \frac{2R \sin \hat{A} + 2R \sin \hat{B}}{2R \sin \hat{A} - 2R \sin \hat{B}}\] Daí segue que: \[ \frac{a + b}{a - b} = \frac{ \sin \hat{A} +  \sin \hat{B}}{ \sin \hat{A} -  \sin \hat{B}}\] Pergunta 2: $\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A - B}{2}\right)}$ Mostrar Resposta CERTO! Utilizando as fórmulas de soma e diferença para ...

RESUMO DO CONTEÚDO:   ASSÍNTOTAS VERTICAIS: Quando temos os limites: $$\displaystyle \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\infty$$ $$\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\pm\infty$$ temos que $x=a$ é assíntota vertical . ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS: Quando temos os limites: $$\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)=b$$ temos que $y=b$ é uma assíntota horizontal. Assim, quando testamos os limites no infinito estamos procurando por assíntoras horizontais. Quando testamos os limites nos pontos de indeterminação, estamos procurando as assíntotas vertucais.   ASSÍNTOTAS OBLÍQUAS  Dado $f(x)=ax+b$, tem-se as assíntotas oblíquas: $$a=\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}$$ e $$b=\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)-x$$   EXERCÍCIOS: 1. Calcule os limites abaixo: a) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}+1}{x+3}$ Resposta: multiplique todas as parcelas por $\frac{1}{x}$ e rearranje: $$\frac{\sqrt{x}+1}{x+3}=\frac{\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{3}{x}...

 Derivada de $cos(x)^{sen(x)}$ Calcule: $\frac{d}{dx}(cos(x)^{sen(x)})$  Solução:   Usando as propriedades da função exponencial e sua inversa, considere que: $$a^{b}=e^{log(a^b)}=e^{b \cdot log(a)}$$ Podemos usar essa propriedade da seguinte forma: $$cos(x)^{sen(x)}=e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}$$ Portanto:   $$\frac{d}{dx}(cos(x)^{sen(x)})=\frac{d}{dx}e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}$$   Usando a regra da cadeia, obtemos:     $$\frac{d}{dx}e^{sen(x)\cdot log(cos(x))}=e^{sen(x)\cdot log(cos(x))} \cdot \left(cos(x)\cdot log(x)-sen(x)\cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}\right)$$   Simplificando:   $$\frac{d}{dx}(cos(x)^{sen(x)})=cox(x)^{sen(x)}\cdot \left( cos(x)\cdot log(x)-tg(x)\cdot sen(x)\right)$$

(Quadrix - 2018 - SEDF - Professor Substituto - Matemática)  Considerando que as equações acima descrevem cônicas no plano, julgue o item a seguir.  $$x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6$$ $$x^2  + xy + y^2  = 3$$ 1. A  primeira  equação  descreve  uma  circunferência  de centro no ponto $(–3, 1)$ e raio $4.$ Solução: Seja $(x-x_{0})+(y-y_{0})=r^2$ a equação da circunferência, então temos a seguinte equação: $$(x+3)^2+(y-1)^2=2^2$$ Desenvolvendo a expressão obtemos: $$x^2+6x+y^2-2y=-6$$ Portanto, o gabarito da questão é falso.  2. A cônica descrita pela primeira equação intercepta a reta $y = –x + 4$ em exatamente um ponto. Solução:  Se substituirmos $y=-x+4$ na expressão  $x^2  – 6x + y^2  + 2y = –6$, obtemos o seguinte: $$x^2-6x+(-x+4)^2+2(-x+4)+6=0$$ Desenvolvendo a expressão: $$2x^2-16x+30=0$$ Sabemos que $\Delta =16^2-4.2.30=16$. Portanto, como $\Delta >0$ temos que a reta $y = –x + 4$ int...

CALCULE A INTEGRAL: $$\int \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}dx$$ Solução: reescreva a função da seguinta maneira: $$ \frac{x+1}{x^3-5x^2+6x}=\frac{x+1}{x(x^2-5x+6)}$$ Usando Báskara, temos que $x_{1}=2$ e $x_{2}=3$. Então a expressão acima fica: $$\frac{x+1}{x(x-3)(x-2)}$$ Para utilizar a técnica de integração por frações parciais precisamos encontrar $A_{1}, A_{2}$ e $A_{3}$, tal que: $$\frac{x+1}{x(x-2)(x-3)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{(x-3)}+\frac{A_{3}}{(x-2)}$$ Multiplicando ambos os lados da expressão por $x(x-2)(x-3)$ obtemos: $$x+1=A_{1}(x^2-5x+6)+A_{2}(x^2-2x)+A_{3}(x^2-3x)$$ Reescrevendo a expressão de forma a evidenciar as variáveis $x^2,x$ e a constante, tem-se: $$x+1=x^{2}(A_{1}+A_{2}+A_{3})+x(-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3})+6A_{1}$$  Daí, comparamos os coeficientes do lado direito com os do lado esquerdo e obtemos o seguinte sistema: $$\left\{\begin{matrix}A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\\-5A_{1}-2A_{2}-3A_{3}\\ 6A_{1}=1 \end{matrix}\right.$$ Portanto, temos que: $$A_{1}=\frac{1}{6}$$ $$A_{2}=\f...

TRÊS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA As maneiras de decidir se um dado $a$ é quadrado módulo $m$ é um estudo muito importante em teoria dos números. Grandes matemáticos contribuíram para desenvolver o resultado principal sobre reciprocidade quadrática, cujo objetivo é decidir quando uma equação do tipo $x^{2}\equiv a(mod\: m)$ tem solução módulo $m$. Existem mais de 250 maneiras de demonstrar o teorema de reciprocidade quadrática. O objetivo deste trabalho é apresentar 3 demonstrações elementares desse teorema. Vamos primeiramente enunciar a Lei de reciprocidade quadrática e depois apresentar as demonstrações juntamente com as ferramentas necessárias para as tais demonstrações: LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA Sejam $P$ e $q$ primos ímpares distintos. Então: $$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$ 1. PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO Nesta primeira parte, para demonstrar o Teorema será apresentado três ferr...